Serie di Laurent nella corona circolare
Ciao a tutti.
Facendo degli esercizi sulle serie di Laurent me ne è capitato uno che era tipo questo:
data la funzione $f(z) = (z-2)/(z^2 - z)$
scrivere lo sviluppo centrato in $z_0=2$ e convergente nella regione circolare $1<|z-2|<2$
ho sempre fatto esercizi con il centro in zero e senza che mi dessero la zona di convergenza...
ho provato ad effettuare una sostituzione come $w=z-2$ e considerare $g(z) = 1/(z*(z-1))$ però poi tutto diventa un casino... almeno per me...
qualcuno di voi mi può proporre un procedimento standard per scrivere la serie secondo le specifiche fornite?
vi ringrazio
Facendo degli esercizi sulle serie di Laurent me ne è capitato uno che era tipo questo:
data la funzione $f(z) = (z-2)/(z^2 - z)$
scrivere lo sviluppo centrato in $z_0=2$ e convergente nella regione circolare $1<|z-2|<2$
ho sempre fatto esercizi con il centro in zero e senza che mi dessero la zona di convergenza...
ho provato ad effettuare una sostituzione come $w=z-2$ e considerare $g(z) = 1/(z*(z-1))$ però poi tutto diventa un casino... almeno per me...
qualcuno di voi mi può proporre un procedimento standard per scrivere la serie secondo le specifiche fornite?
vi ringrazio
Risposte
Cominciamo a sostituire come dici te $w = z-2$ quindi la funzione diventa:
$f(w+2) = w/((w+2)^2 - (w+2)) = w/(w^2 + 4w + 4 - w - 2) = w/(w^2 + 3w + 2) = w/((w+1)(w+2)) = w/(w+1) - w/(w+2)$
E quindi lo sviluppo in serie di Laurent in $w = 0$ è (per $1 < |z-2| < 2$) :
$f(w+2) = w*(1)/(1+w) -w/2*(1)/(1-(-w/2)) = w*(1)/(w(1 + 1/w)) -w/2 * \sum_{k=0}^{\infty} (-w/2)^k = (1)/(1 - (-1/w)) -w/2 * \sum_{k=0}^{\infty} (-w/2)^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-1/w)^k -w/2 * \sum_{k=0}^{\infty} (-w/2)^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k 1/(z-2)^k + \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^(k+1)(1/2)^(k+1) (z-2)^(k+1)$
Ed ecco la serie di Laurent cercata
$f(w+2) = w/((w+2)^2 - (w+2)) = w/(w^2 + 4w + 4 - w - 2) = w/(w^2 + 3w + 2) = w/((w+1)(w+2)) = w/(w+1) - w/(w+2)$
E quindi lo sviluppo in serie di Laurent in $w = 0$ è (per $1 < |z-2| < 2$) :
$f(w+2) = w*(1)/(1+w) -w/2*(1)/(1-(-w/2)) = w*(1)/(w(1 + 1/w)) -w/2 * \sum_{k=0}^{\infty} (-w/2)^k = (1)/(1 - (-1/w)) -w/2 * \sum_{k=0}^{\infty} (-w/2)^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-1/w)^k -w/2 * \sum_{k=0}^{\infty} (-w/2)^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k 1/(z-2)^k + \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^(k+1)(1/2)^(k+1) (z-2)^(k+1)$
Ed ecco la serie di Laurent cercata
ti ringrazio!
ottimo
a me usciva un tantino diversa perchè consideravo entrambe le funzioni analitiche in quella regione...
ottimo
a me usciva un tantino diversa perchè consideravo entrambe le funzioni analitiche in quella regione...
Ciao!
Qualcuno mi saprebbe spiegare perchè se consideriamo le regioni:
$|z-2|>1$
$1<|z-2|<2$
$|z-2|<2$
le due funzioni non sono sempre analitiche in tutti gli insiemi?
Non riesco a capire perchè a seconda delle regioni si considera solo una funziona analitica e l'altra no...
vi ringrazio!
Qualcuno mi saprebbe spiegare perchè se consideriamo le regioni:
$|z-2|>1$
$1<|z-2|<2$
$|z-2|<2$
le due funzioni non sono sempre analitiche in tutti gli insiemi?
Non riesco a capire perchè a seconda delle regioni si considera solo una funziona analitica e l'altra no...
vi ringrazio!
Non capisco quello che dici.
È ovvio che considerando l'insieme delle $z$ per cui $|z-2|>1$ , la funzione $f(z)$ non risulterà più analitica.
Lo è perché per il valore $z=0$ il valore appartiene al dominio, ma si annulla il denominatore di $f$. E quindi $f$ non è definita in quel punto.
Analogamente se si considera $|z-2| < 2$, per $z=1$ avrai un problema.
Le tre corone circolari con centro in $z=2$ in cui è possibile esprimere la funzione $f$ analiticamente in termine di serie sono:
$|z-2| <1$
$1<|z-2|<2$
$|z-2|>2$
È ovvio che considerando l'insieme delle $z$ per cui $|z-2|>1$ , la funzione $f(z)$ non risulterà più analitica.
Lo è perché per il valore $z=0$ il valore appartiene al dominio, ma si annulla il denominatore di $f$. E quindi $f$ non è definita in quel punto.
Analogamente se si considera $|z-2| < 2$, per $z=1$ avrai un problema.
Le tre corone circolari con centro in $z=2$ in cui è possibile esprimere la funzione $f$ analiticamente in termine di serie sono:
$|z-2| <1$
$1<|z-2|<2$
$|z-2|>2$
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