Serie di laurent e serie di taylor
giorno a tutti non ho ben capito quando posso usare la serie di taylor e quando quella di laurent...
MI spiego meglio:
Data la funzione complessa :
f(z) = 1/(z+1)
in effetti puo essere sviluppata in serie di taylor in z = 0 (quindi mc laurin)ad esempio,perchè in tale punto la funzione non è analitica.
Nello stesso punto posso anche sviluppare in serie di laurent?e perchè?
infine: in z = -1 la funzione non si puo sviluppare in serie di taylor ma in serie di laurent?
e perchè?
che confusione...
MI spiego meglio:
Data la funzione complessa :
f(z) = 1/(z+1)
in effetti puo essere sviluppata in serie di taylor in z = 0 (quindi mc laurin)ad esempio,perchè in tale punto la funzione non è analitica.
Nello stesso punto posso anche sviluppare in serie di laurent?e perchè?
infine: in z = -1 la funzione non si puo sviluppare in serie di taylor ma in serie di laurent?
e perchè?
che confusione...
Risposte
Il problema è questo: le due rappresentazioni (in serie di Taylor ed in serie di Laurent) mettono in evidenza comportamenti diversi, pur essendo modi di vedere la stessa funzione.
Ad esempio, guardiamo la funzione che hai proposto: [tex]$f(z)=\frac{1}{1+z}$[/tex]. Essa è olomorfa (e dunque analitica) in tutto il piano complesso, eccezion fatta per il punto [tex]$z_0=-1$[/tex] in cui [tex]$f$[/tex] ha una singolarità isolata di tipo polare del primo ordine (infatti [tex]$f$[/tex] è la funzione reciproca del polinomio [tex]$p(z):=1+z$[/tex] che ha in [tex]$z_0$[/tex] uno zero del primo ordine).
Ne consegue che [tex]$f$[/tex] è sviluppabile in serie di Taylor intorno ad ogni punto [tex]$z\neq z_0$[/tex] e che è sviluppabile in serie di Laurent in ogni intorno forato di [tex]$z_0$[/tex].
Ad esempio, preso [tex]$z_1=0$[/tex], la [tex]$f$[/tex] è sviluppabile in serie di Taylor e (ricordando la serie geometrica) tale sviluppo è:
(T) [tex]$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\ z^n$[/tex];
il teorema di Cauchy-Hadamard assicura che la serie converge (totalmente sui compatti contenuti) nel cerchio aperto [tex]$|z|<1$[/tex] e, con un po' di sforzo in più, si vede che tale serie non converge in alcun punto della regione [tex]$|z|\geq 1$[/tex].
Se nel secondo membro di (T) facciamo [tex]$z=z_0=-1$[/tex] otteniamo una serie divergente, però più di questo a partire dal solo sviluppo in serie (T) non riusciamo a dire.
Se vogliamo dire di più circa il comportamento di [tex]$f$[/tex] intorno al punto singolare [tex]$z_0=-1$[/tex] dobbiamo usare un altro strumento, che è lo sviluppo in serie di Laurent.
Lo sviluppo in serie di Laurent di [tex]$f$[/tex] nell'intorno forato di [tex]$z_0$[/tex] è del tipo:
[tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n =\underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} c_{-n}\ \frac{1}{(z-z_0)^n}}_{\text{parte singolare in $z_0$}} +\underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n}_{\text{parte regolare in $z_0$}}$[/tex]
ed i coefficienti sono univocamente determinati da [tex]$f$[/tex].
Nel nostro caso [tex]$f$[/tex] è assegnata in modo che lo sviluppo di Laurent si determina in maniera semplicissima: infatti, essendo già [tex]$f(z)=\frac{1}{1+z}$[/tex] ed [tex]$\frac{1}{1+z}=\frac{1}{z-z_0}$[/tex] nonché unico lo sviluppo in serie, lo sviluppo di Laurent di [tex]$f$[/tex] è proprio:
(L) [tex]$f(z)=\frac{1}{z+1}$[/tex];
come vedi, ora è possibile dire che [tex]$|f(z)|$[/tex] è un infinito del primo ordine (rispetto a [tex]$|z+1|$[/tex]) quando [tex]$z\to -1$[/tex], informazione che non era possibile recuperare "immediatamente" dalla serie di Taylor (T).
Inoltre nota che la serie di Laurent di una funzione intorno ad un punto di regolarità [tex]$\zeta$[/tex] non può contenere una "parte singolare"; ergo la serie di Laurent di una funzione olomorfa in un intorno completo di [tex]$\zeta$[/tex] coincide con la serie di Taylor.
Ad esempio, guardiamo la funzione che hai proposto: [tex]$f(z)=\frac{1}{1+z}$[/tex]. Essa è olomorfa (e dunque analitica) in tutto il piano complesso, eccezion fatta per il punto [tex]$z_0=-1$[/tex] in cui [tex]$f$[/tex] ha una singolarità isolata di tipo polare del primo ordine (infatti [tex]$f$[/tex] è la funzione reciproca del polinomio [tex]$p(z):=1+z$[/tex] che ha in [tex]$z_0$[/tex] uno zero del primo ordine).
Ne consegue che [tex]$f$[/tex] è sviluppabile in serie di Taylor intorno ad ogni punto [tex]$z\neq z_0$[/tex] e che è sviluppabile in serie di Laurent in ogni intorno forato di [tex]$z_0$[/tex].
Ad esempio, preso [tex]$z_1=0$[/tex], la [tex]$f$[/tex] è sviluppabile in serie di Taylor e (ricordando la serie geometrica) tale sviluppo è:
(T) [tex]$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\ z^n$[/tex];
il teorema di Cauchy-Hadamard assicura che la serie converge (totalmente sui compatti contenuti) nel cerchio aperto [tex]$|z|<1$[/tex] e, con un po' di sforzo in più, si vede che tale serie non converge in alcun punto della regione [tex]$|z|\geq 1$[/tex].
Se nel secondo membro di (T) facciamo [tex]$z=z_0=-1$[/tex] otteniamo una serie divergente, però più di questo a partire dal solo sviluppo in serie (T) non riusciamo a dire.
Se vogliamo dire di più circa il comportamento di [tex]$f$[/tex] intorno al punto singolare [tex]$z_0=-1$[/tex] dobbiamo usare un altro strumento, che è lo sviluppo in serie di Laurent.
Lo sviluppo in serie di Laurent di [tex]$f$[/tex] nell'intorno forato di [tex]$z_0$[/tex] è del tipo:
[tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n =\underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} c_{-n}\ \frac{1}{(z-z_0)^n}}_{\text{parte singolare in $z_0$}} +\underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n}_{\text{parte regolare in $z_0$}}$[/tex]
ed i coefficienti sono univocamente determinati da [tex]$f$[/tex].
Nel nostro caso [tex]$f$[/tex] è assegnata in modo che lo sviluppo di Laurent si determina in maniera semplicissima: infatti, essendo già [tex]$f(z)=\frac{1}{1+z}$[/tex] ed [tex]$\frac{1}{1+z}=\frac{1}{z-z_0}$[/tex] nonché unico lo sviluppo in serie, lo sviluppo di Laurent di [tex]$f$[/tex] è proprio:
(L) [tex]$f(z)=\frac{1}{z+1}$[/tex];
come vedi, ora è possibile dire che [tex]$|f(z)|$[/tex] è un infinito del primo ordine (rispetto a [tex]$|z+1|$[/tex]) quando [tex]$z\to -1$[/tex], informazione che non era possibile recuperare "immediatamente" dalla serie di Taylor (T).
Inoltre nota che la serie di Laurent di una funzione intorno ad un punto di regolarità [tex]$\zeta$[/tex] non può contenere una "parte singolare"; ergo la serie di Laurent di una funzione olomorfa in un intorno completo di [tex]$\zeta$[/tex] coincide con la serie di Taylor.
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