Serie di Laurent di $e^(1/z)/(1-z)$

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14 feb 2010, 18:08

Vorrei una smentita o una conferma.
Ho la funzione $f(z)=e^(1/z)/(1-z)$ devo svilupparla in serie di Laurent.
Preliminarmente osservo che $f(z)$ non è olomorfa in $z_0=0$ e $z_1=1$ quindi avrò due sviluppi in serie diversi, uno pre $0<|z|<1$ e l'altro per $|z|>1$.
A questo punto per $0<|z|<1$ mi ricordo lo sviluppo della serie armonica e della serie esponenziale e faccio in prodotto.
$e^(1/z)=\sum_(n=0) ^(+oo) x^n/(n!)$
$1/(1-z)=\sum_(n=0) ^(+oo) x^n$
Dunque se non dico assurdità:
$e^(1/z)/(1-z)=\sum_(n=0) ^(+oo) x^(2n)/(n!)$
Ora nella regione $|z|>1$ come mi comporto??? Dico che non esiste lo sviluppo???
Grazie e correggetemi mi raccomando.

Risposte

holmes1

14 feb 2010, 19:20

$\sum_{n=0}^{\infty}((x^2)^n)/(n!)=$?
per $|z|>1$, per la funzione$1/(1-z)$ sostituzuine $z=1/w$ e stesso ragionamento.....più o meno......
saluti!

squalllionheart

14 feb 2010, 19:26

infatti non sono convintissima di come l'ho scritto... tu come lo scriveresti?

holmes1

14 feb 2010, 19:34

controlla bene nn sono sicuro dei conti

$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n} x^n* \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}b_{i}x^n$......o simile

poi se si semplifica qualcosa è bene altrimenti scrivi quello che ti viene........controlla se la formula è corretta però....ho scritto a memoria.

squalllionheart

14 feb 2010, 19:47

Non capisco, puoi spiegarmi meglio. Grazie.

holmes1

14 feb 2010, 21:18

mi viene cosi..............non sono convintissima.....

$\sum_{i=1}^{+\infty}((e-\sum_{n=0}^{i-1}1/(n!))z^{-i})+\sum_{i=1}^{+\infty}ez^{i} + e$

hai mica la soluzione?????

saluti!