Serie di Laurent, corone circolari!

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Sviluppare in serie di Laurent in tutte le corone possibili la funzione:

1.$ f(z)=(z+2)/(z^2-4z+3) $ di punto iniziale $z0=1$

Ho scomposto il denominatore come:

$ (z+2)/((z-3)(z-1)) $

Ho utilizzato il metodo dei fratti semplice, ottenendo;

$ 5/2(z-3)-3/2(z-1) $

quindi il campo di olomorfia è tutto il campo $C$ tranne i valori $1$ e $3$

Ed ecco qui la domanda: Devo considerare solo la Corona $C(1,0,2)$ (cioè di centro 1 e raggi 0 e 2) oppure anche la corona $C(1,2,+ oo) $ ??? (Dato che la traccia prevede lo sviluppo in tutte le possibili corone)

Procedo con lo sviluppo in $C (1,0,2)$:

$ 5/2(1/(z-1)-2)=-5/4(1/(1-((z-1)/2))) $

da cui ottendo la serie geometrica:

$ -5/4 sum_(n = 0 \ldots)^(n=+oo \ldots) ((z-1)/2)^n $

e siccome il termine $-3/2(1/(z-1))$ è già sviluppato ottengo:

$ sum_(n = 0 \ldots)^(n=+oo \ldots) -5((z-1)^n)/2^(n+2) -3/2(1/(z-1)) $

è corretto?? Anche gli estremi della sommatoria sono corretti?? Perchè in alcuni esercizi la parte singolare ha come estremi $1$ e $+oo$. Eventualmente esiste l'altra corona, come sviluppo considero il reciproco della prima serie (quella geometrica) e lascio sempre inalterato il secondo addendo(quello con denominatore z-1)?

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