Serie di Laurent

[serio89]

Devo calcolare la serie di Laurent della funzione $f(z)=e^(3/z)+1/(2+z)$ con centro $0$ e raggi $0$ e $2$.
Quindi:
$e^(3/z)= sum[1/(n!)*(3/z)^n]$
e:
$1/(2+z)=1/2*1/(1-(-z/2))=1/2sum(-z/2)^n$
E la serie di Laurent è: $sum[1/(n!)*(3/z)^n] + 1/2sum(-z/2)^n$.
E' corretta? Non sono sicuro di aver trattato nel modo giusto $e^(3/z)$, visto che il primo raggio è nullo.

[Sk_Anonymous]

Quella che hai calcolato vale per $0<|z|<2$. Dovresti calcolare anche quella per $|z|>2$.

[serio89]

Essendo $R1

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[Sk_Anonymous]

Ho inteso male il testo. In ogni modo, potresti calcolare anche l'altra come esercizio.

[serio89]

Ah, ok! Di esercizi ne sto facendo parecchi, il problema è che solo di pochi ho il risultato e talvolta ho dei dubbi, come in questo.
Grazie ancora!

[Sk_Anonymous]

Al di là del testo, a scopo puramente didattico, quando $|z|>2$, mentre lo sviluppo di $e^(3/z)$ non cambia:

$e^(3/z)=\sum_{n=0}^\infty\1/(n!)(3/z)^n$

cambia lo sviluppo di $1/(2+z)$:

$1/(2+z)=1/z1/(1+2/z)=1/z\sum_{n=0}^\infty\(-2/z)^n$

Quindi:

$f(z)=e^(3/z)+1/(2+z)=\sum_{n=0}^\infty\1/(n!)(3/z)^n+1/z\sum_{n=0}^\infty\(-2/z)^n$