Serie di Laurent

[VINX89]

Un esercizio chiede di calcolare i coefficienti $c_1$ e $c_(-6)$ della serie di Laurent di centro $z_0 = 0$ della funzione

$f(z) = tan(z)/(z^2 + 2)$

in un intorno di $z_1 = 3/(2(1+i))$

Ma cosa vuol dire? Lo sviluppo è fatto nel punto $z_0$, e i coefficienti non dipendono dalla variabile $z$!!!

Grazie per l'aiuto.

[baldo891]

nessuno ti risponde VINX!
forse gli esercizi del buon moretti sono troppo difficili anche per i moderatori di questo forum

[Rigel1]

Il punto $z_1$ ti serve per sapere in quale regione (cioè corona circolare) devi considerare lo sviluppo.

[VINX89]

"Rigel":Il punto $z_1$ ti serve per sapere in quale regione (cioè corona circolare) devi considerare lo sviluppo.

Ah, ok.
Quindi, siccome per definizione si ha

$c_n = 1/(2 pi i) int_(gamma) f(zeta)/(zeta - z_0)^(n+1) d(zeta)$

posso per esempio prendere come curva $gamma$ una circonferenza centrata nell'origine e passante per $z_1$.

[Rigel1]

Hai che $|z_1| = 3 / (2\sqrt{2}) < \sqrt{2} < \pi/2$.
Sai che la funzione $\tan(z)$ è analitica nel disco $|z| < \pi/2$.
Sai che $\frac{1}{z^2+2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+z^2/2}$ è analitica nel disco $|z| < \sqrt{2}$.
Quindi $f$ è analitica nel disco $|z|<\sqrt{2}$.
Di conseguenza $c_{-6} = 0$. Il coeff. $c_1$ te lo puoi calcolare partendo dagli sviluppi delle due funzioni indicate sopra (salvo miei errori, dovresti ottenere $c_1 = 1/2$).