Serie di laurent
Sera a tutti...
Studiare la natura delle singolarità della funzione $f(z)=frac{e^z}{z^2+1}$ fornire lo sviluppo in serie di Laurent ed, in corrispondenza delle singolarità, calcolare il valore dei residui.
Per il primo punto non c'è problema sono poli del primo ordine, per il secondo punto non so come iniziare a dir la verità cioè se avessi solo un polo saprei come fare...ma essendo due non so come fare potresti svolgere voi questo secodo punto? Per il calcolo dei residui no problem...
Cordialmente
Studiare la natura delle singolarità della funzione $f(z)=frac{e^z}{z^2+1}$ fornire lo sviluppo in serie di Laurent ed, in corrispondenza delle singolarità, calcolare il valore dei residui.
Per il primo punto non c'è problema sono poli del primo ordine, per il secondo punto non so come iniziare a dir la verità cioè se avessi solo un polo saprei come fare...ma essendo due non so come fare potresti svolgere voi questo secodo punto? Per il calcolo dei residui no problem...
Cordialmente
Risposte
Credo che con "lo sviluppo in serie di Laurent" si intende lo sviluppo realtivo ad ognuno dei due poli (visto anche che non specifica quale scegliere).
Insomma, devi calcolare due sviluppi.
Un po' lunghetto, forse...
Insomma, devi calcolare due sviluppi.
Un po' lunghetto, forse...
Supponi di dover calcolare quello su $z=-i$ come lo calcolresti lo sviluppo? Intendo dire...
$f(z) = frac{e^z}{z^2+1} = e^z*(frac{C_1}{z+i}+frac{C_2}{z-i})$ a questo punto potrei sfruttare la proprietà di linearità dello sviluppo il primo addendo sviluppato viene...
$sum_{k=0}^{+infty}(frac{C_1*e^i*(z-i)^{k-1}}{k!})$ e questo è facile da calcolare in quanto lo sviluppo è unico, $e^z$ è una funzione regolare in $z=i$, e quindi applico essenzialmente taylor all'esponenziale complesso. Ma per il secondo termine come mi comporto? cioè mi devo calcolare gli integrali per i coefficenti? Mi pare un pò gorzovigliato come procedimento, e considerate che questo è il primo di 7 esercizi di un'ipotetico compito.
Attendo ancora...
$f(z) = frac{e^z}{z^2+1} = e^z*(frac{C_1}{z+i}+frac{C_2}{z-i})$ a questo punto potrei sfruttare la proprietà di linearità dello sviluppo il primo addendo sviluppato viene...
$sum_{k=0}^{+infty}(frac{C_1*e^i*(z-i)^{k-1}}{k!})$ e questo è facile da calcolare in quanto lo sviluppo è unico, $e^z$ è una funzione regolare in $z=i$, e quindi applico essenzialmente taylor all'esponenziale complesso. Ma per il secondo termine come mi comporto? cioè mi devo calcolare gli integrali per i coefficenti? Mi pare un pò gorzovigliato come procedimento, e considerate che questo è il primo di 7 esercizi di un'ipotetico compito.
Attendo ancora...
Io farei così:
[tex]f(z)=\frac{e^z}{(z+i)(z-i)} =e^{-i}\cdot \frac{e^{z+i}}{(z+i)(z-i)}=e^{-i}\cdot \frac{e^{z+i}}{z+i} \cdot \frac{1}{z-i}[/tex]
All'ultimo membro hai due funzioni: una si sviluppa in maniera immediata (basta sviluppare in serie di Taylor l'esponenziale); l'altra si riconduce alla serie geometrica di ragione $z+i$ con un po' di passaggi.
Poi ti rimane da calcolare il prodotto secondo Cauchy delle due serie, che si fa in maniera abbastanza semplice.
[tex]f(z)=\frac{e^z}{(z+i)(z-i)} =e^{-i}\cdot \frac{e^{z+i}}{(z+i)(z-i)}=e^{-i}\cdot \frac{e^{z+i}}{z+i} \cdot \frac{1}{z-i}[/tex]
All'ultimo membro hai due funzioni: una si sviluppa in maniera immediata (basta sviluppare in serie di Taylor l'esponenziale); l'altra si riconduce alla serie geometrica di ragione $z+i$ con un po' di passaggi.
Poi ti rimane da calcolare il prodotto secondo Cauchy delle due serie, che si fa in maniera abbastanza semplice.
ma gugo se stai sviluppando attorno a $-i$ puoi porre $1/(z-i)=1/(-2i)$ o sto prendendo un abbaglio?
mmm... si mi sa che c'ho proprio visto male ed ho sparato una boiata:) .... scusate ci sono degli automatismi che mi hanno confuso...
eh...e quindi? io non c'hò capito niente...
"Thomas":
mmm... si mi sa che c'ho proprio visto male ed ho sparato una boiata:) .... scusate ci sono degli automatismi che mi hanno confuso...
Infatti... Per il calcolo del residuo puoi usare quel trucco (visto che il polo è del primo ordine), ma non per trovare lo sviluppo di Laurent.
"Lauke":
eh...e quindi? io non c'hò capito niente...
Cosa non hai capito?
Il mio post precedente non ti ha dato nessuna idea?
No per niente, non ti arrabbiare...
"Lauke":
[quote="Gugo82"][quote="Lauke"]eh...e quindi? io non c'hò capito niente...
Cosa non hai capito?
Il mio post precedente non ti ha dato nessuna idea?[/quote]
No per niente, non ti arrabbiare...[/quote]
E chi si arrabbia... Vorrei solo capire cosa non ti è chiaro di quello che ho scritto/suggerito prima così da poterlo spiegare meglio, tutto qui.
è chiara l'idea non è chiaro che devo fare. In poche parole, puoi svolgermi tu questo sviluppo?
Allora... Fatti questi passaggi:
siamo arrivati ad ottenere per [tex]f[/tex] una rappresentazione come prodotto di due funzioni:una è [tex]e^{-i} \frac{e^{z+i}}{z+i}[/tex], che si sviluppa in modo immediato in serie di Laurent di centro [tex]-i[/tex]; l'altra è [tex]\frac{1}{z-i}[/tex], che si può sviluppare in serie di Taylor di centro [tex]-i[/tex] (infatti essa è olomorfa intorno a [tex]-i[/tex]) riconducendosi alla serie geometrica.
Infine, per ottenere lo sviluppo in serie di Laurent di [tex]f[/tex] di centro [tex]-i[/tex] bisogna prendere il prodotto secondo Cauchy delle due serie ottenute.
1. Lo sviluppo di [tex]e^{-i}\frac{e^{z+i}}{z+i}[/tex] lo lascio a te (è una banale applicazione dello sviluppo notevole [tex]e^\zeta =\sum \frac{1}{n!} \zeta^n[/tex] con [tex]\zeta=z+i[/tex]).
2. Lo sviluppo di [tex]\frac{1}{z-i}[/tex] ti posso far vedere come si fa, poiché è più interessante.
Ricordo innanzitutto che vale lo sviluppo notevole:
(*) [tex]\frac{1}{1+\zeta} =\sum (-1)^n \zeta^n[/tex]
e, visto che il nostro denominatore è molto simile a quello della frazione a primo membro di (*), sembrerebbe una cosa buona e giusta cercare di ricondurci allo sviluppo appena ricordato.
Abbiamo, con un po' di passaggi:
[tex]\frac{1}{z-i} = -\frac{1}{i} \frac{1}{1-\frac{1}{i}z}=i \frac{1}{1-\frac{1}{i}(z+i-i)}= i \frac{1}{2-\frac{1}{i}(z+i)} =\frac{i}{2} \frac{1}{1+\frac{1}{2i}(z+i)}[/tex]
cosicché (applicando (*) con [tex]\zeta=\frac{1}{2i}(z+i)[/tex]):
[tex]\frac{1}{z-i}=\frac{i}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n[\frac{1}{2i} (z+i)]^n=\frac{i}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2^n i^n} (z+i)^n[/tex].
3. Ora, per ottenere lo sviluppo di [tex]f[/tex], non ti rimane altro da fare che calcolare il prodotto secondo Cauchy dei due sviluppi trovati in 1 e 2.
Se non sai cosa è il prodotto secondo Cauchy di due serie, vattelo a leggere sul libro di teoria (o in giro sul web); poi torna e ne parliamo.
"Gugo82":
Io farei così:
[tex]f(z)=\frac{e^z}{(z+i)(z-i)} =e^{-i}\cdot \frac{e^{z+i}}{(z+i)(z-i)}=e^{-i}\cdot \frac{e^{z+i}}{z+i} \cdot \frac{1}{z-i}[/tex]
siamo arrivati ad ottenere per [tex]f[/tex] una rappresentazione come prodotto di due funzioni:una è [tex]e^{-i} \frac{e^{z+i}}{z+i}[/tex], che si sviluppa in modo immediato in serie di Laurent di centro [tex]-i[/tex]; l'altra è [tex]\frac{1}{z-i}[/tex], che si può sviluppare in serie di Taylor di centro [tex]-i[/tex] (infatti essa è olomorfa intorno a [tex]-i[/tex]) riconducendosi alla serie geometrica.
Infine, per ottenere lo sviluppo in serie di Laurent di [tex]f[/tex] di centro [tex]-i[/tex] bisogna prendere il prodotto secondo Cauchy delle due serie ottenute.
1. Lo sviluppo di [tex]e^{-i}\frac{e^{z+i}}{z+i}[/tex] lo lascio a te (è una banale applicazione dello sviluppo notevole [tex]e^\zeta =\sum \frac{1}{n!} \zeta^n[/tex] con [tex]\zeta=z+i[/tex]).
2. Lo sviluppo di [tex]\frac{1}{z-i}[/tex] ti posso far vedere come si fa, poiché è più interessante.
Ricordo innanzitutto che vale lo sviluppo notevole:
(*) [tex]\frac{1}{1+\zeta} =\sum (-1)^n \zeta^n[/tex]
e, visto che il nostro denominatore è molto simile a quello della frazione a primo membro di (*), sembrerebbe una cosa buona e giusta cercare di ricondurci allo sviluppo appena ricordato.
Abbiamo, con un po' di passaggi:
[tex]\frac{1}{z-i} = -\frac{1}{i} \frac{1}{1-\frac{1}{i}z}=i \frac{1}{1-\frac{1}{i}(z+i-i)}= i \frac{1}{2-\frac{1}{i}(z+i)} =\frac{i}{2} \frac{1}{1+\frac{1}{2i}(z+i)}[/tex]
cosicché (applicando (*) con [tex]\zeta=\frac{1}{2i}(z+i)[/tex]):
[tex]\frac{1}{z-i}=\frac{i}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n[\frac{1}{2i} (z+i)]^n=\frac{i}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2^n i^n} (z+i)^n[/tex].
3. Ora, per ottenere lo sviluppo di [tex]f[/tex], non ti rimane altro da fare che calcolare il prodotto secondo Cauchy dei due sviluppi trovati in 1 e 2.
Se non sai cosa è il prodotto secondo Cauchy di due serie, vattelo a leggere sul libro di teoria (o in giro sul web); poi torna e ne parliamo.
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