Serie di laurent

[leev]

Determinare lo sviluppo di Laurent della funzione seguente: exp(z+1/z) , per |z|>0.

Qualcuno saprebbe darmi una mano?

thx

[carlo232]

"leev":Determinare lo sviluppo di Laurent della funzione seguente: exp(z+1/z) , per |z|>0.

Qualcuno saprebbe darmi una mano?

thx

Vogliamo trovare lo sviluppo in serie di Laurent di $f(z)=e^(z+z^-1)$, sappiamo che

$f(z)=(e^z)(e^(z^-1))=(sum_(n=0)^infty (z^n)/(n!))(sum_(n=0)^infty (z^-n)/(n!))$

da cui

$f(z)=sum_(n=-infty)^infty a_nz^n$

dove

$a_n=sum_(k=0)^infty 1/((n+k)!(k!)) $ se $n>0$

$a_n=sum_(k=n)^infty 1/((n+k)!(k!)) $ se $n<0$

dovrebbe essere giusto...

Ciao!

[leev]

ciao, grazie carlo...
ma, nn capisco bene come hai determinato gli an, hai fatto la moltiplicazione di cauchy?

[Bandit1]

ma non basta svolgere con le serie di taylor?

$e^z= 1 + z + (z^2)/2 + (z^4)/4 ......
per poi moltiplicarlo per e^(1/z)= 1 + 1/z +(z^2)/2z.....
$

[carlo232]

"leev":ciao, grazie carlo...
ma, nn capisco bene come hai determinato gli an, hai fatto la moltiplicazione di cauchy?

Si, l'avevo fatto in fretta comunque credo si applichi la moltiplicazione di Cauchy non vedo altre vie

[carlo232]

"Bandit":ma non basta svolgere con le serie di taylor?

$e^z= 1 + z + (z^2)/2 + (z^4)/4 ......
per poi moltiplicarlo per e^(1/z)= 1 + 1/z +(z^2)/2z.....
$

Guarda che è quello che ho fatto io, solo scritto in modo + formale

[Bandit1]

ok ciao
grazie del chiarimento

[Bandit1]

se siamo di fronte ad un esercizio come questo?
$z^2/ (sen piz)$

in particolar modo quale è la serie di Taylor di $sen piz$
ciao