Serie di Laurent
Scusate ragazzi non ho capito una cosa...
Ma per trovare la serie di laurent bisogna partire dalla serie di Taylor senza calcolare i coefficienti cn con l'integrale?
qual'è il metodo più pratico che normalmente si segue?
Ma per trovare la serie di laurent bisogna partire dalla serie di Taylor senza calcolare i coefficienti cn con l'integrale?
qual'è il metodo più pratico che normalmente si segue?
Risposte
Ragazzi io qui ho dei problemi con la serie di laurent...
Allora il coefficiente cn è così definito:
cn=1/2pij che moltiplica l'integrale lungo la frontiera gamma di f(csi)tutto fratto csi meno zcon0 elevato alla n+1 d(csi)
quello che non riesco a capire è quale siano gli estremi di integrazione dell'integrale curvilineo.
Il libro da me usato per questo esame è quello di Marco Codegone.
Qui dice che in generale questo integrale non si calcola ma si trovano prima gli sviluppi in serie di Taylor poi si cerca di aggiustare il tutto per ottenere la serie di Laurent.
In pratica dovrei farci l'occhio e giocare molto sugli sviluppi...
fatemi sapere...
Allora il coefficiente cn è così definito:
cn=1/2pij che moltiplica l'integrale lungo la frontiera gamma di f(csi)tutto fratto csi meno zcon0 elevato alla n+1 d(csi)
quello che non riesco a capire è quale siano gli estremi di integrazione dell'integrale curvilineo.
Il libro da me usato per questo esame è quello di Marco Codegone.
Qui dice che in generale questo integrale non si calcola ma si trovano prima gli sviluppi in serie di Taylor poi si cerca di aggiustare il tutto per ottenere la serie di Laurent.
In pratica dovrei farci l'occhio e giocare molto sugli sviluppi...
fatemi sapere...
La serie di Laurent per una funzione di variabile complessa e', per meta', la serie di Taylor, quindi quella si trova senza problemi. Per il resto, che e' la parte non banale della serie di Laurent, basta osservare le singolarita' della funzione: se per esempio la funzione ha un solo polo di un certo ordine, allora e' automatico sapere quali termini della serie di Laurent sopravvivono. Mi pare di ricordare, ma controlla, che solo in presenza delle singolarita' essenziali, ci sia una parte significtaiva della serie di Laurent che non e' serie di Taylor. Comunque il discorso e' questo: guardare le singolarita' della funzione.
Luca.
Luca.
Si ma quale sono gli estremi di integrazione dell'integrale?
Si tratta di un integrale di una funzione di variabile complessa su una curva chiusa; ovvero un integrale di una forma differenziale lungo una curva. Devi parametrizzare la curva, e quindi usare la definizione dell'integrale, e vedrai che esce un integrale in una variabile reale.
Luca.
Luca.
ovviamente usare questo metodo può risultare scomodo ed è conveniente fare come dice lui quindi...
Sei costretto ad usarlo se hai una singolarita' essenziale; in tal caso il residuo va calcolato a mano. Se hai poli o singolarita' eliminabili, ci sono gia' le formulette belle pronte.
Luca.
Luca.
Cerchiamo di capirci con un esempio concreto:
f(z)=(e^z-1)/z^4
devo trovare la serie di Laurent centrata in z0=0
ed è (usando il metodo che dice l'autore del libro):
sommatoria -3 a +00 di z^n tutto fratto (n+4)!
Andando a guardare i risultati mi dice che la serie di Laurent di F(z) ha tutti i coefficienti cn nulli per n<-3 (ma come lo verifica?)
ccon-3=1 (Ma quale formula ha usato? quella della definizione? Ma anche se parametrizzo f(z) rimane sempre il problema di capire in quale intervallo oscilla la variabile di parametrizzazione...)
infine dice "e infiniti cn diversi da 0 per n>=0" e qui nulla da ridire...
Fammi sapere...
f(z)=(e^z-1)/z^4
devo trovare la serie di Laurent centrata in z0=0
ed è (usando il metodo che dice l'autore del libro):
sommatoria -3 a +00 di z^n tutto fratto (n+4)!
Andando a guardare i risultati mi dice che la serie di Laurent di F(z) ha tutti i coefficienti cn nulli per n<-3 (ma come lo verifica?)
ccon-3=1 (Ma quale formula ha usato? quella della definizione? Ma anche se parametrizzo f(z) rimane sempre il problema di capire in quale intervallo oscilla la variabile di parametrizzazione...)
infine dice "e infiniti cn diversi da 0 per n>=0" e qui nulla da ridire...
Fammi sapere...
Luca questo libro prima mi introduce la serie di Laurent e poi il discoso sulla singolarità me lo fa dopo...Me lo devo ancora studiare.
Esatto, il fatto è che se scendi sotto -4 (da -5 in poi), arrivi ad integrare, per il calcolo dei coefficienti, una funzione olomorfa, ovvero priva di singolarita'; quindi, integrando lungo una curva chiusa ottieni 0. Per il calcolo dei coefficienti della parte "positiva", e' banale, in quanto hal la serie di Taylor. Mancano i coefficienti da -4 fino a 0. Qui che metodo usa? Se non hai ancora studiato le singolarita' (la tua funzione dovrebbe avere un polo di ordine 3 in 0) devi fare il conto a mano di quei coefficienti. Il conto non dipende dalla curva scelta, quindi scegli la crf di centro 0 e raggio 1, che parametrizzi con exp (i \theta), con \theta appartenente a [0,2\pi). Ecco che l'intervallo di integrazione e' [0,2\pi), e poi devi usare la definizione di integrale di una funzione di variabile complessa per il calcolo.
Luca.
Luca.
Scusa l'ignoranza, ma qualcuno mi potrebbe spiegare come fare u integrale in c?
Questa è una parte della matematica che letteralmente adoro. Attenzione però alle funzioni a più valori. Infatti, grazie ai giochi permessi dalla famosa relazione di Eulero:
e^(i*alfa)=cos(alfa)+i*sin(alfa)
è possibile estendere facimente al piano complesso la maggiorparte delle funzioni elementari (logaritmo, seno, coseno, le potenze, etc etc). In particolar modo penso che lo studio dell'estensione al piano complesso della funzione logaritmo sia fondamentale in quanto permette di capire il significato delle funzioni a più valori. Per queste funzioni, come ad esempio la semplice radice quadrata di "z", un integrale esteso ad un circuito apparentemente chiuso come una circonferenza avente centro nell'origine degli assi (reale ed immaginario), non è in realtà un circuito chiuso ma aperto. Capito questo si spalancano una infinità di porte
Ciao
P.S. Chiedo scusa per eventuali imprecisioni nella terminologia
e^(i*alfa)=cos(alfa)+i*sin(alfa)
è possibile estendere facimente al piano complesso la maggiorparte delle funzioni elementari (logaritmo, seno, coseno, le potenze, etc etc). In particolar modo penso che lo studio dell'estensione al piano complesso della funzione logaritmo sia fondamentale in quanto permette di capire il significato delle funzioni a più valori. Per queste funzioni, come ad esempio la semplice radice quadrata di "z", un integrale esteso ad un circuito apparentemente chiuso come una circonferenza avente centro nell'origine degli assi (reale ed immaginario), non è in realtà un circuito chiuso ma aperto. Capito questo si spalancano una infinità di porte
Ciao
P.S. Chiedo scusa per eventuali imprecisioni nella terminologia
Luca ovviamente devo utilizzare la formula:
cn=1/2pij integrale lungo la circonferenza gamma di f(csi) tutto fratto (csi-z)^(n+1) d(csi)
giusto?
cn=1/2pij integrale lungo la circonferenza gamma di f(csi) tutto fratto (csi-z)^(n+1) d(csi)
giusto?
quote:
Originally posted by GIOVANNI IL CHIMICO
Scusa l'ignoranza, ma qualcuno mi potrebbe spiegare come fare u integrale in c?
Provo a rispondere io poi magari qualcuno mi correggerà se dico qualcosa di sbagliato.
Un integrale sul piano complesso è grossomodo equivalente ad un integrale curvilineo su di un piano cartesiano. Il dominio di integrazione può essere una curva aperta oppure una curva chiusa. In quest'ultimo caso bisogna però stare attenti che, se la funzione integranda è a più valori, curve apparentemente chiuse potrebbero invece risultare aperte [sqr(z) è un esempio di funzione a più valori sul piano complesso].
Se si riesce a parametrizzare la curva che rappresenta il dominio di integrazione è possibile ricondurre l'integrale sul piano complesso ad un normalissimo integrale.
A proposito della integrazione di funzioni analitiche sul piano complesso vale l'importantissimo "teorema dei residui" (legato agli argomenti su cui stanno discutendo luca e marco) che in molti casi permette di risolvere con una semplicità incredibile integrali definiti inattaccabili con altre tecniche di integrazione.
ciao
P.S. Dimenticavo una cosa. Il teorema dei residui è stato anche utilizzato da Riemann nel suo articolo sulla funzione zeta e sui numeri primi (vedi topic sull'ipotesi di riemann in generale) per ottenere l'equazione funzionale della funzione zeta. Proprio in questi giorni sto studiacchiando quell'articolo.
Esattamente, proprio quella (con, nel tuo caso, z=0). L'integrale e' da farsi come integrale di una forma differenziale, quindi basta parametrizzare gamma, se prendi come gamma la circonferenza, la parametrizzi come ti ho detto sopra.
Luca.
Luca.
Non e' esattamente lo stesso: una cosa e' integrare una funzione lungo una linea, che e' diverso da integrare una forma differenziale lungo una linea. Nel caso delle funzioni di variabile complessa, la cosa corretta e' integrarle come forme differenziali.
Luca.
Luca.
quote:
Originally posted by Luca77
Non e' esattamente lo stesso: una cosa e' integrare una funzione lungo una linea, che e' diverso da integrare una forma differenziale lungo una linea. Nel caso delle funzioni di variabile complessa, la cosa corretta e' integrarle come forme differenziali.
Luca.
Si hai ragione, in effetti non sono stato preciso. Il tutto nasce dal fatto che la funzione integranda f(z) moltiplicata per dz (con z variabile complessa) è equivalente ad una forma differenziale. La verifica è immediata se si pone:
z=x+i*y
dz=dx+i*dy
f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)
Grazie Luca per la precisazione [:)]
Ciao
Ok, sto iniziando a capire, ma dove posso trovare una teoria un po rigorosa, magari anche solo introduttiva?
Mi intrippa il teo dei residui....ma si applica anche con integrali inattaccabili in R?
Mi intrippa il teo dei residui....ma si applica anche con integrali inattaccabili in R?
Ina delle sue applicazioni e' proprio il calcolo di integrali in R.
Io, sull'Analisi complessa, consiglio sempre il Rudin, Real and complex analysis, Boringhieri.
Luca.
Io, sull'Analisi complessa, consiglio sempre il Rudin, Real and complex analysis, Boringhieri.
Luca.
Luca ma per "Zero di ordine N>0 in zcon0" che cosa s'intende?
Forse quei valori di zcon 0 che rendono la serie di potenze complessa
nulla?
Forse quei valori di zcon 0 che rendono la serie di potenze complessa
nulla?
Io ho studiato la teoria delle funzioni analitiche su due testi della serie MIR. Non so se qualcuno di voi la conosce; è una casa editrice che si occupa della traduzione di testi di matematica e di fisica di autori russi. I testi sono:
1) A.I.Markusevic - elementi di teoria delle funzioni analitiche
2) V.I.Smirnov - corso di matematica superiore
Quest'ultimo è un testo in 4 volumi, di cui il terzo ed il quarto in due tomi, molto completo.
1) A.I.Markusevic - elementi di teoria delle funzioni analitiche
2) V.I.Smirnov - corso di matematica superiore
Quest'ultimo è un testo in 4 volumi, di cui il terzo ed il quarto in due tomi, molto completo.
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