Serie di Laurent

[VittorioT91]

Ultimo esercizio proposto (spero non vi siano problemi per il fatto che ho aperto 3 tread, non volevo creare confusione visto che si tratta di 3 argomenti diversi).

3) Si determini lo sviluppo in serie di Laurent della funzione in $1<|z|<2$

$f(z)=1/(z^3+3iz^2-2z)$

Scrivo il denominatore come $z(z+i)(z+2i)$

Scompongo in fratti semplici: $A/z+B/(z+i)+C/(z+2i)$

$\Rightarrow A=-1/2, B=1, C=-1/2$

Quindi $f(z)= -1/2 1/z + 1/(z+i) - 1/2 1/(z+2i)$

Vedo che al numeratore c'è 1 e penso che si potrebbe ricondurre alla serie geometrica ma non so come manipolarlo.

Grazie in anticipo!

[Quinzio]

Abbiamo $f(z)=-1/(2z)+1/(1+z)-1/(2(z+2i))$
e va sviluppata nella corona tra i raggi 1 e 2, con centro l'origine.
I primi due termini hanno la singolarità dentro la corona, l'ultimo termine è fuori dalla corona (più precisamente è sulla frontiera).
L'ultimo termine lo sviluppiamo come:
$-1/(2(z+2i)) =- 1/(4i) 1/(1+z/(2i)) = -1/(4i) \sum_0^(+oo)(-1)^n(z/(2i))^n$
Questa serie è convergente, appunto entro il raggio 2.
Il termine $-1/(2z)$ è già in forma di Laurent.
Mentre il secondo termine lo sviluppiamo come
$1/(1+z)=1/z 1/(1+1/z)=1/z \sum_0^(+oo) (-1)^n (1/z)^n = - \sum_0^(+oo) (-1)^n (1/z)^n =- \sum_(-oo)^(0) (-1)^n z^n$

[VittorioT91]

Grazie per la risposta Quinzio!

Ho un dubbio sul secondo membro:

"Quinzio":
$1/(1+z)=1/z 1/(1+1/z)=1/z \sum_0^(+oo) (-1)^n (1/z)^n = - \sum_0^(+oo) (-1)^n (1/z)^n =- \sum_(-oo)^(0) (-1)^n z^n$

Il denominatore era $z+i$ come è diventato $1+z$ ?