Serie di Laurent

[pollon871]

Salve, vi propongo questo esercizio e chiedo a voi se la risoluzione è esatta.

Scrivere la parte principale della serie di Laurent intorno all'origine della funzione \(\displaystyle f(z)= \frac{sen(z)}{z^3(1-z)} \)

Dunque la funzione è olomorfa nell'anello \(\displaystyle {z: 0< |z| < 1} \) e quindi ivi sviluppabile in serie di Laurent.
Ricordo lo sviluppo di

\(\displaystyle sen z = \sum (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

quindi

\(\displaystyle f(z) =\frac{1}{z^3(1-z)} \sum (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum (-1)^n \frac{z^{2n-2}}{(2n+1)!} \frac{1}{(1-z)}\)

Ma ovviamente qualcosa non torna . . .

[Quinzio]

Dovresti vedere che
$1/(1-z)=\sum_(n=0)^(+oo)z^n$.
Allora
\( \displaystyle f(z)= \frac{sen(z)}{z^3(1-z)} \)

$=(\sin z)/(z^3) \sum_(n=0)^(+oo)z^n$

$=1/(z^3) (\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/((2n+1)!) z^(2n+1) )( \sum_(n=0)^(+oo)z^n)$

$=1/(z^3) (z-z^3/(6)+...)(1+z+z^2+z^3+...)$

con un po' di passaggi elementari si arriva a concludere che la parte principale è:

$1/z^2 + 1/z $