Serie di Laurent

[fede161]

Ciao ragazzi ! Ho qualche problema con questo esercizio.

mi chiede : Espandere (in serie di Laurent) la funzione

$ f(z)= 1/((z+1)(z+3) $
valida nei seguenti casi:

A) $ 1<|z|<3 $
B) $ 0<|z+1|<2 $

Nella risoluzione del punto A) il libro spezza la soluzione in 3 parti.

poichè $ f(z) = 1/2*1/((z+1))- 1/2*1/((z+3) $

se $ |z|>1 $ allora $ 1/2*1/(z+1)=1/(2z(1+1/z)) $

procedendo... $ 1/(2z)(1-1/z+1/z^2-1/z^3+....) $ = $ 1/(2z)-1/(2z^2)+1/(2z^3)-.... $

prosegue poi con |z| < 3 e considera solo $ 1/(2(z+3)) $ ...
(ovviamente manca il caso intermedio che non sto a mettere)

Non riesco a capire perchè utilizza questo procedimento. Perchè con |z| > 1 considera solo la prima parte della funzione e con |z|<3 considera solo la seconda? Me lo sapreste spiegare?

Vi ringrazio in anticipo per la risposta

[chisigma]

In generale una serie di Laurent, a differenza di una serie di Taylor, converge all'interno di un anello cioe' per $r_{1} < |z|< r_{2}$. Lo sviluppo del primo termine converge per $|z|>1$ cosi' che e' $r_{1}=1$ e lo sviluppo del secondo termine converge per $|z|<3$ cosi' che e' $r_{2}=3$...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[fede161]

Alla fine dell'esercizio, mi dice che se $ 1<|z|<3 $

$ f(z)= ...-1/(2z^4)+ 1/(2z^3) - 1/(2z^2) + 1/(2z)- 1/6+z/18-z^2/54+... $

Allora il punto Z=0 NON E' UNA SINGOLARITA' !

Perhè dice così ? Se vado a sostituire z=0 la fuinzione non è definita... non capisco...