SERIE DI FUNZIONI - VARI TIPI - Soluzione
La serie di funzioni è la seguente:
$sum_{n=1}^oo (sin(2(1-x)))/((|1-x^2|n^2)+1)$
Qualcuno potrebbe dirmi come risolverla?
Io ho solo ipotizzato che la convergenza si ha solo per x=1 (è l'unico caso in cui il limite di fn(x) risulta nullo).
Ma poi?
$sum_{n=1}^oo (sin(2(1-x)))/((|1-x^2|n^2)+1)$
Qualcuno potrebbe dirmi come risolverla?
Io ho solo ipotizzato che la convergenza si ha solo per x=1 (è l'unico caso in cui il limite di fn(x) risulta nullo).
Ma poi?
Risposte
"Trist@no":
La serie di funzioni è la seguente:
$sum_{n=1}^oo (sin(2(1-x)))/((|1-x^2|n^2)+1)$
Qualcuno potrebbe dirmi come risolverla?
Io ho solo ipotizzato che la convergenza si ha solo per x=1 (è l'unico caso in cui il limite di fn(x) risulta nullo).
Ma poi?
questa se non sbaglio romeo l'ha risolta in aula.vado a controllare sugli appunti
Ipotizzato male. Fai bene i conti.
Poi, hai controllato già la convergenza totale?
Poi, hai controllato già la convergenza totale?
Sei un grande!!!
"Trist@no":
Sei un grande!!!
romeo parte dimostrando la convergenza totale:
$|(sin(2(1-x)))/(|1-x^2|n^2+1)|<=(2|1-x|)/(|1-x^2|n^2+1)<=(2|1-x|)/(|1-x^2|n^2)=2/(|1+x|n^2)<=2/(rhon^2)=:L_n$
allora la serie $sum_{n=1}^oo L_n$ converge e quindi la serie converge totalmente in $]-oo,-1-rho[ uu ]-1+rho,+oo[$
edit:
dunque per dimostrare la convergenza di $L_n$ devi studiare il caratterere della serie $sum_{n=1}^oo 2/(rhon^2)$ e si vede ad occhio che converge
$rho$ è un numero tale che $|1+x|>=rho => x<=-1-rho vv x>=-1+rho$
"mazzy89":
[quote="Trist@no"]Sei un grande!!!
romeo parte dimostrando la convergenza totale:
$|(sin(2(1-x)))/(|1-x^2|n^2+1)|<=(2|1-x|)/(|1-x^2|n^2+1)<=(2|1-x|)/(|1-x^2|n^2)=2/(|1+x|n^2)<=2/(rhon^2)=:L_n$
allora la serie $sum_{n=1}^oo L_n$ converge e quindi la serie converge totalmente in $]-oo,-1-rho[ uu ]-1+rho,+oo[$
Edit: se $|1+x|>=rho => x<=-1-rho vv x>=-1+rho$[/quote]
Sarebbe anche il caso di ricordare che $|sin y|<=|y|$ in $RR$.
P.S.: Ma se seguite insieme, non potete scambiarvi gli appunti?
"Gugo82":
[quote="mazzy89"][quote="Trist@no"]Sei un grande!!!
romeo parte dimostrando la convergenza totale:
$|(sin(2(1-x)))/(|1-x^2|n^2+1)|<=(2|1-x|)/(|1-x^2|n^2+1)<=(2|1-x|)/(|1-x^2|n^2)=2/(|1+x|n^2)<=2/(rhon^2)=:L_n$
allora la serie $sum_{n=1}^oo L_n$ converge e quindi la serie converge totalmente in $]-oo,-1-rho[ uu ]-1+rho,+oo[$
Edit: se $|1+x|>=rho => x<=-1-rho vv x>=-1+rho$[/quote]
Sarebbe il caso di ricordare che $|sin y|<=|y|$ in $RR$.
P.S.: Ma se seguite insieme, non potete scambiarvi gli appunti?[/quote]
ci siamo conosciuti oggi.neanche lo sapevamo che eravamo insieme.Ma non si possono scambiare gli appunti sul forum?
Non fraintendermi, mazzy89, non volevo riprendervi... Solo volevo suggerirvi di non perdere tempo nel trascrivere pagine di appunti; una fotocopia domani è sicuramente meno impegnativa. 
"Gugo82":
Non fraintendermi, mazzy89, non volevo riprendervi... Solo volevo suggerirvi di non perdere tempo nel trascrivere pagine di appunti; una fotocopia domani è sicuramente meno impegnativa.
no no figurati gugo82.non ti ho frainteso.anzi ti volevo chiedere se magari forse stavamo infrangendo qualche regola tutto qui.
"mazzy89":
volevo chiedere se magari forse stavamo infrangendo qualche regola tutto qui.
Non mi pare che questo sia vietato dal regolamento... Però non abusiamo della possibilità, mi raccomando.
Nuovo quesito:
$sum_{n=1}^oo (cos(nx))/n^2$
Usando lo stesso metodo dell'esercizio precedente ho maggiorato la funzione $(cos(nx))/n^2$ con $1/n^2$.
Ponendo Ln=$1/n^2$ (convergente) ottengo la totale convergenza delle serie di partenza. Giusto?
$sum_{n=1}^oo (cos(nx))/n^2$
Usando lo stesso metodo dell'esercizio precedente ho maggiorato la funzione $(cos(nx))/n^2$ con $1/n^2$.
Ponendo Ln=$1/n^2$ (convergente) ottengo la totale convergenza delle serie di partenza. Giusto?
io inizierei con il determinare per quali valori di $x$ la serie soddfisfa la condizione necesseria di convergenza.
Ok...quindi partendo da questa considerazione, deduco che x debba essere uguale a $pi/2$.
"Trist@no":
Nuovo quesito:
$sum_{n=1}^oo (cos(nx))/n^2$
Usando lo stesso metodo dell'esercizio precedente ho maggiorato la funzione $(cos(nx))/n^2$ con $1/n^2$.
Ponendo Ln=$1/n^2$ (convergente) ottengo la totale convergenza delle serie di partenza. Giusto?
Va benissimo.
Manca un valore assoluto (dovresti maggiorare $|cos(nx)|/n^2$), ma sono minuzie...
Grazie Gugo82...sono minuzie si, ma sono proprio le minuzie che, se sbagliate, non ti permettono di portare a termine un esercizio!!! =),
Nuovo quesito:
$sum_{n=1}^oo (1/n^sin(n))x^n$
Devo studiarne la convergenza semplice ed uniforme.
Come posso calcolare il raggio di convergenza della serie?
$sum_{n=1}^oo (1/n^sin(n))x^n$
Devo studiarne la convergenza semplice ed uniforme.
Come posso calcolare il raggio di convergenza della serie?
"Trist@no":
Nuovo quesito:
$sum_{n=1}^oo (1/n^sin(n))x^n$
Devo studiarne la convergenza semplice ed uniforme.
Come posso calcolare il raggio di convergenza della serie?
allora gianni se guardi il termine $a_n$ cosa ti ricorda?
POtrei azzardare una serie armonica generalizzata...tra l'altro il seno è sempre compreso tra -1 e 1 per cui questa serie divergerebbe??
"Trist@no":
POtrei azzardare una serie armonica generalizzata...tra l'altro il seno è sempre compreso tra -1 e 1 per cui questa serie divergerebbe??
perfetto ma dato che è una serie di potenze applica il teorema di cauchy(ovvero quello con la radice quadrata) e vedi dove converge
diventa così: $lim_(n to oo) root(n)|1/n^(sinn)|=1$
allora il raggio di convergenza è $1$ e la serie converge puntualmente in $]-1,1[$
Ma la cosa che non capisco è che sotto radice n-esima abbiamo $n^sen(n)$...posso dare per certo che questa quantità sotto il limite di n->oo faccia 1?? Detto ciò quindi per x=1 non c'è convergenza semplice, mentre la si ha per x=-1...da ciò le ovvie conseguenze sull'uniforme convergenza!
Quindi se io ho serie di potenze l'unica strada da seguire è quella di calcalarmi il raggio di convergenza usando o il criterio del rapporto o quello della radice, giusto??
Nel caso in cui si abbia una serie di funzioni (non serie di potenze), la strada da seguire è:
0) vedo per quali valori di x il limite della serie di funzioni è nullo.
1) calcolo la f(x).
2) mi trovo il sup di |fn(x) - f(x)| (quindi un Ln che maggiori la serie di partenza).
3) faccio il limite di Ln per n->oo e se fa zero deduco ci sia totale convergenza.
E' corretto?
Quindi se io ho serie di potenze l'unica strada da seguire è quella di calcalarmi il raggio di convergenza usando o il criterio del rapporto o quello della radice, giusto??
Nel caso in cui si abbia una serie di funzioni (non serie di potenze), la strada da seguire è:
0) vedo per quali valori di x il limite della serie di funzioni è nullo.
1) calcolo la f(x).
2) mi trovo il sup di |fn(x) - f(x)| (quindi un Ln che maggiori la serie di partenza).
3) faccio il limite di Ln per n->oo e se fa zero deduco ci sia totale convergenza.
E' corretto?
"Trist@no":
Nel caso in cui si abbia una serie di funzioni (non serie di potenze), la strada da seguire è:
0) vedo per quali valori di x il limite della serie di funzioni è nullo.
1) calcolo la f(x).
2) mi trovo il sup di |fn(x) - f(x)| (quindi un Ln che maggiori la serie di partenza).
3) faccio il limite di Ln per n->oo e se fa zero deduco ci sia totale convergenza.
E' corretto?
quello che dici te lo si applica nel caso di dimostrare la convergenza totale delle successioni di funzioni.nel caso di serie di funzioni per dimostrare che converge totalmente devi trovarti il $"sup"|f_n(x)|$ e poi se la serie $sum_{n=1}^oo "sup"|f_n(x)|$ converge allora puoi dire che la serie $sum_{n=1}^oo f_n(x) $ converge totalmente
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