SERIE DI FUNZIONI - VARI TIPI - Soluzione

[Trist@no]

La serie di funzioni è la seguente:

$sum_{n=1}^oo (sin(2(1-x)))/((|1-x^2|n^2)+1)$

Qualcuno potrebbe dirmi come risolverla?
Io ho solo ipotizzato che la convergenza si ha solo per x=1 (è l'unico caso in cui il limite di fn(x) risulta nullo).
Ma poi?

[mazzy89-votailprof]

"Trist@no":
Quindi se io ho serie di potenze l'unica strada da seguire è quella di calcalarmi il raggio di convergenza usando o il criterio del rapporto o quello della radice, giusto??

be si credo proprio di si.calcolarsi il raggio è la cosa primaria e sfruttando i teoremi l'unico modo è quello detto da te.poi altri metodo non ne conosco.ma gianni aspettiamo la conferma di qualche guru della matematica presente sul forum

[Trist@no]

Si hai ragione...ho fatto confusione come al solito...due nuove proposte:

1) $sum_{n=1}^oo (x + (1/n))^n$ 2) $sum_{n=1}^oo x/(n^x)$

entrambi calcolati per x appartenente a $[0, +oo[$.

1) f(x) è nulla solo per x=0, per x=1 f(x) = e mentre negli altri casila serie diverge a $+oo$?

2) ???

[mazzy89-votailprof]

"Trist@no":

1) $sum{n=1}^oo (x + (1/n))^n$


1) f(x) è nulla solo per x=0

sicuro?a me non viene nulla

edit: per $x=0$ $sum_{n=1}^oo 1/(n^n)$ che risulta convergente in virtù del corollario sul criterio della radice

[Trist@no]

Boh facendo i calcoli mi risulta nulla per x=0... SOS!!!

[mazzy89-votailprof]

"Trist@no":Boh facendo i calcoli mi risulta nulla per x=0... SOS!!!

non capisco. essendo $x=0$ si ha $sum_{n=1}^oo (0+1/n)^n$ $=>$ $sum_{n=1}^oo 1/(n^n)$

[Trist@no]

Per favore Salvo spiegami come risolvere queste due serie perchè proprio mi sono perso!!!

[mazzy89-votailprof]

"Trist@no":Per favore Salvo spiegami come risolvere queste due serie perchè proprio mi sono perso!!!

la prima è risolta:

per $x=0$ si ha $sum_{n=1}^oo 1/(n^n)$ che risulta convergente in virtù del teorema della radice.

ora dato che la serie è una serie a termini positivi possiamo benissimo applicare il criterio della radice e si ha: $lim_(n to oo) root(n)(x+1/n)^n=lim_(n to oo)(x+1/n)=x$ quindi la serie converge puntualmente per $0<=x<1$ per $x>=1$ diverge.lascio a te la dimostrazione sulla convergenza uniforme

[salvozungri]

2) $\sum_{n=1}^\infty x/n^x$ con $x>=0$

Osserva innanzitutto che per $x=0$ la serie converge a zero. Per $x!=0$ faremo alcune considerazioni:

$\sum_{n=1}^\infty x/n^x = x \sum_{n=1}^\infty 1/n^x$, questo è possibile perchè x non dipende dall'indice di sommatoria.

$x\sum_{n=1}^\infty 1/n^x$ converge se $x>1$ infatti la puoi vedere come una serie armonica generalizzata (che certamente avrai studiato durante il corso di analisi). Ora su $[0,\infty)$ non vi è convergenza totale (non converge puntualmente in $(0, 1]$). La totale convergenza è assicurata su tutte le semirette della forma: $[a, \infty)$ con $a>1$ (perchè?)

[size=67][Edit]:Tolto riferimento a funzione zeta di Riemann[/size]

[Trist@no]

"Mathematico":2) $\sum_{n=1}^\infty x/n^x$ con $x>=0$

Osserva innanzitutto che per $x=0$ la serie converge a zero. Per $x!=0$ faremo alcune considerazioni:

$\sum_{n=1}^\infty x/n^x = x \sum_{n=1}^\infty 1/n^x$, questo è possibile perchè x non dipende dall'indice di sommatoria.

$x\sum_{n=1}^\infty 1/n^x$ converge se $x>1$ infatti la puoi vedere come una serie armonica generalizzata (che certamente avrai studiato durante il corso di analisi). Ora su $[0,\infty)$ non vi è convergenza totale (non converge puntualmente in $(0, 1]$). La totale convergenza è assicurata su tutte le semirette della forma: $[a, \infty)$ con $a>1$ (perchè?)

[size=67][Edit]:Tolto riferimento a funzione zeta di Riemann[/size]

Suppongo perchè per $x>1$ si ottiene una serie armonica generalizzata convergente mentre per $x<1$ otteniamo una serie armonica divergente e quindi non si ha uniforme convergenza...Spero di aver azzeccato qualcosina!!!

[Trist@no]

$sum_{n=1}^oo 1/(x^n + nx +1)$ essendo $0<=x
La serie è a termini positivi...che criterio potrei applicare?
Ho dapprima fatto il $lim_(n->oo) 1/(x^n + nx +1)=0$ per ogni x diversa da $0$.
$|1/(x^n + nx +1)|<|1/(n +1)|$
Pongo $L_n=1/(n +1)$.
$sum_{n=1}^oo 1/(n +1)$ è però divergente!
Cosa dovrei fare?

[salvozungri]

"Trist@no":
Suppongo perchè per $x>1$ si ottiene una serie armonica generalizzata convergente mentre per $x<1$ otteniamo una serie armonica divergente e quindi non si ha uniforme convergenza...Spero di aver azzeccato qualcosina!!!

Hai detto bene, ma non hai risposto alla mia domanda, per $x>1$ abbiamo la convergenza semplice, ma cosa sappiamo dire sulla convergenza totale?
Considera $[a, +\infty)$ con $a>1$ e fai un piccolo studio di funzione di $f_n(x)= x/(n^x)$, determinando magari in qualche modo il sup. Un piccolo sforzo

[salvozungri]

Perdonami, non vorrei assolutamente sembrare sgarbato, ma lo dico per te. A mio avviso è controproducente scrivere altre tracce di esercizi, quando ancora ve ne sono altri che devono essere conclusi. Poi fai come vuoi, nessuno te lo impedisce, ma così facendo rischi di confonderti e non capire bene ciò che bisogna fare. Aggiungo un'ultima cosa, i tuoi tentativi sono un po' "scarni", quindi colui o colei che vuole aiutarti si trova in difficoltà perchè non sa come approcciarsi a te. Non prendere ciò che ho scritto come un rimprovero, ma come un consiglio!

[Trist@no]

"Mathematico":[quote="Trist@no"]
Suppongo perchè per $x>1$ si ottiene una serie armonica generalizzata convergente mentre per $x<1$ otteniamo una serie armonica divergente e quindi non si ha uniforme convergenza...Spero di aver azzeccato qualcosina!!!

Hai detto bene, ma non hai risposto alla mia domanda, per $x>1$ abbiamo la convergenza semplice, ma cosa sappiamo dire sulla convergenza totale?
Considera $[a, +\infty)$ con $a>1$ e fai un piccolo studio di funzione di $f_n(x)= x/(n^x)$, determinando magari in qualche modo il sup. Un piccolo sforzo [/quote]

Facendo qualche conticino (sempre se corretto) ottengo che il sup di quella funzione è $1/n^x$ ...dunque è per questo che x deve essere maggiore di 1, altrimenti non si ha totale convergenza!!! (Spero sia giusto!!!)

"Mathematico":Perdonami, non vorrei assolutamente sembrare sgarbato, ma lo dico per te. A mio avviso è controproducente scrivere altre tracce di esercizi, quando ancora ve ne sono altri che devono essere conclusi. Poi fai come vuoi, nessuno te lo impedisce, ma così facendo rischi di confonderti e non capire bene ciò che bisogna fare. Aggiungo un'ultima cosa, i tuoi tentativi sono un po' "scarni", quindi colui o colei che vuole aiutarti si trova in difficoltà perchè non sa come approcciarsi a te. Non prendere ciò che ho scritto come un rimprovero, ma come un consiglio!

Grazie del consiglio Mathematico...è solo che ho poco materiale a casa su cui basarmi e il libro di testo diciamo non aiuta per nulla...sto cercando di capire come funzionano le serie esercizio per esercizio...per questo i miei approcci sono "scarni"...a volte azzecco la via giusta...altre no, e quindi mi perdo!!! Sorry

[salvozungri]

"Trist@no":
Facendo qualche conticino (sempre se corretto) ottengo che il sup di quella funzione è $1/n^x$ ...dunque è per questo che x deve essere maggiore di 1, altrimenti non si ha totale convergenza!!! (Spero sia giusto!!!)

No, il sup non è quello. Ho una domanda da porti, non è che per caso, la serie che stiamo studiando parte da $n=2$?

"Trist@no":
Grazie del consiglio Mathematico...è solo che ho poco materiale a casa su cui basarmi e il libro di testo diciamo non aiuta per nulla...sto cercando di capire come funzionano le serie esercizio per esercizio...per questo i miei approcci sono "scarni"...a volte azzecco la via giusta...altre no, e quindi mi perdo!!! Sorry

Non ti devi scusare , ma la prossima volta concludi un esercizio e poi ne posti un altro ok ?

[Trist@no]

"Mathematico":[quote="Trist@no"]
Facendo qualche conticino (sempre se corretto) ottengo che il sup di quella funzione è $1/n^x$ ...dunque è per questo che x deve essere maggiore di 1, altrimenti non si ha totale convergenza!!! (Spero sia giusto!!!)

No, il sup non è quello. Ho una domanda da porti, non è che per caso, la serie che stiamo studiando parte da $n=2$?

"Trist@no":
Grazie del consiglio Mathematico...è solo che ho poco materiale a casa su cui basarmi e il libro di testo diciamo non aiuta per nulla...sto cercando di capire come funzionano le serie esercizio per esercizio...per questo i miei approcci sono "scarni"...a volte azzecco la via giusta...altre no, e quindi mi perdo!!! Sorry

Non ti devi scusare , ma la prossima volta concludi un esercizio e poi ne posti un altro ok ? [/quote]

Ok ... adesso veniamo all'esercizio...la serie parte da n=1...per lo studio del sup ho fatto la derivata e viene $(1-x)/n^x$ .
$(1-x)/n^x$ si annulla per x=1...Quindi ehm il sup è $1$?

[salvozungri]

Va bene, appurato che la serie parta da 1 allora salta tutto il mio ragionamento .
$f_n(x)= x/n^x$ con $n\in NN\setminus{0}$

Per $n=1$ la funzione $f_1(x)=x$ che è una funzione crescente e in$[a,+\infty)$ non è limitata superiormente, già questo è sufficiente per dire che non vi è convergenza totale negli intervalli del tipo $[a, \infty)$.
Potremmo pensare che vi sia convergenza totale in $[a,b]$ con $1 Ora sorgono i problemi, ma poi nemmeno tanto difficili da risolvere, per $n=1$ e per $n=2$. Per risolverlo in modo elegante ho pensato di sfruttare il teorema di Weierstrass senza andare a valutare esplicitamente i punti di massimo. Infatti le funzioni $f_n(x)$, con $n=1,2$ sono continue in un intervallo chiuso e limitato e per Weierstrass esse ammettono massimo e minimo, chiamo $M_1$ il massimo della funzione $f_1(x)$ e $M_2$ il massimo della funzione $f_2(x)$.

$M_1= "max"_{a<=x<=b} f_1(x)$
$M_2= "max"_{a<=x<=b} f_2(x)$


Fissiamo ora $n$ di modo che sia maggiore di 2 e andiamo a studiare la derivata prima della funzione $f_n(x)$.
$f'_n(x)= -n^(-x) (-1+x log(n))= -\frac{x log(n)-1}{n^x}$, con $12$. Su questo intervallo, la derivata prima risulta negativa, e dunque $f_n(x)$ è decrescente per ogni $n>2$, il massimo lo otteniamo per $x=a$.

$|f_n(x)|<= f_n(a)= a/n^a$ con $a>1$, $n>2$. (in questo caso il valore assoluto è superfluo visto che $f_n$ è una successione di funzioni positive).

La successione dei sup è quindi $M_n={(M_1, " se " n=1),(M_2 ," se " n=2),(a/n^a, " se " n>2):}$.

Consideriamo la serie degli $M_n$:

$\sum_{n=1}^\infty M_n= M_1+M_2+\sum_{n=3}^\infty M_n = M_1+M_2 +\sum_{n=3}^\inftya/n^a = M_1+M_2+a\sum_{n=2}^\infty1/n^a$. Poichè $a>1$ allora la serie converge, e quindi abbiamo assicurata la convergenza totale negli intervalli del tipo $[a,b]$ con $1
L'esercizio è un po' una carognata
________________________________________
Mi auguro vivamente che non vi siamo problemi logici, controlla tutto ok?

[Edit]: Rileggendo il tuo post, mi sono accorto che non è richiesto lo studio della convergenza totale della serie, probabilmente quello che ho fatto è inutile

[Trist@no]

"Mathematico":Rileggendo il tuo post, mi sono accorto che non è richiesto lo studio della convergenza totale della serie, probabilmente quello che ho fatto è inutile

Grazie mille...dovevo studiare la convergenza semplice e uniforme della serie, per cui anche la totale va bene visto che implica le prime due

[mazzy89-votailprof]

allora inserisco anche una serie così ci alleniamo gianni:

$sum_{n=1}^oo (logn)^n/n^(3x)$

posto la mia soluzione (mi raccomando gianni non sbirciare )

la serie è una serie a termini positivi per ogni $x in RR$ quindi applico il criterio del confronto $(logn)^x/n^(3x)<=(1/n^2)^x$ ora la serie$sum_{n=1}^oo 1/n^(2x)$ converge per $x>1/2$ e diverge per $x<=1/2$. e giusto ?

[gugo82]

"Trist@no":$sum_{n=1}^oo 1/(x^n + nx +1)$ essendo $0<=x
La serie è a termini positivi...che criterio potrei applicare?
Ho dapprima fatto il $lim_(n->oo) 1/(x^n + nx +1)=0$ per ogni x diversa da $0$.
$|1/(x^n + nx +1)|<|1/(n +1)|$
Pongo $L_n=1/(n +1)$.
$sum_{n=1}^oo 1/(n +1)$ è però divergente!
Cosa dovrei fare?

La maggiorazione è sbagliata; quella corretta è $1/(x^n+nx+1)<=1$ (infatti $x^n+nx+1>=1$ con $=$ se e solo se $x=0$).
Ad ogni modo, la serie non converge totalmente in $[0,+oo[$... Qual è il problema?

Prova a vedere se converge su qualche semiretta $[a,+oo[$ oppure sui limitati (tipo $[a,b]$).
Per fare ciò ti basta avere un po' di informazioni sulla monotonia degli addendi, che hai già studiato per stabilire i massimi.

(Per inciso, gli adddendi prendono tutti massimo in $0$; quindi probabilmente c'è convergenza totale in $[0,+oo[$ privato d'un intorno aperto qualsiasi di $0$ -ossia sulle semirette $[a,+oo[$-... Ma è solo un'ipotesi.)