Serie di funzioni, una mano!
Salve a tutti, sto cominciando a vedere l'argomento -serie di funzioni-, purtroppo sono anche un po' arrugginito per quanto riguarda analisi I.
comunque;
non capisco perché questa serie non converge totalmente in $[0,1]$:
$ sum x(1-x)^n $ , $i)$
ho proceduto col valutare la serie:
$ sum ||x(1-x)^n|| $, $ii)$
qui già non capisco (o non ricordo) quale metodo adoperare per capirne la convergenza o la divergenza!
comunque un po' di ragionamento e dico:
il $Sup |x(1-x)^n|$ è una quantità $<1$ e man mano che cresce $n$ questo (il $Sup$) tende a $0$. Già è "supera il test" della condizione necessaria affinché la serie $ii)$ converga.... ma poi mi sembra di non avere più informazioni a riguardo....o meglio se 0
$ sum x^2(1-x)^n $ , $i)$
converge totalmente....(vedi Giusti analisi II).
Grazie mille!!!!!!!!!
scusate le castronerie (eventuali)
ciao
comunque;
non capisco perché questa serie non converge totalmente in $[0,1]$:
$ sum x(1-x)^n $ , $i)$
ho proceduto col valutare la serie:
$ sum ||x(1-x)^n|| $, $ii)$
qui già non capisco (o non ricordo) quale metodo adoperare per capirne la convergenza o la divergenza!
comunque un po' di ragionamento e dico:
il $Sup |x(1-x)^n|$ è una quantità $<1$ e man mano che cresce $n$ questo (il $Sup$) tende a $0$. Già è "supera il test" della condizione necessaria affinché la serie $ii)$ converga.... ma poi mi sembra di non avere più informazioni a riguardo....o meglio se 0
$ sum x^2(1-x)^n $ , $i)$
converge totalmente....(vedi Giusti analisi II).
Grazie mille!!!!!!!!!
scusate le castronerie (eventuali)
ciao
Risposte
Hai calcolato esplicitamtente chi è [tex]$\sup_{0\leq x\leq 1} x(1-x)^n$[/tex]?
Fallo (ricordandoti che una funzione continua in [tex]$[0,1]$[/tex] ha massimo assoluto) ed avrai una bella sorpresa.
Fallo (ricordandoti che una funzione continua in [tex]$[0,1]$[/tex] ha massimo assoluto) ed avrai una bella sorpresa.
Ok, faccio la derivata, la eguaglio a 0 e trovo che ho il max in $1/(1+n)$ (calcoli permettendo).
Quindi vedo come si comporta quando $n$ tende a $oo$. infatti il punto di massimo, quando $n$ tende a $oo$ , tende a $0$.
....
mi ci è voluto un po' ma finalmente credo di aver capito:
sostituendo $1/(1+n)$ nella $ii)$ con un po' di algebretta si arriva ad una serie confrontabile con la serie armonica!!! ---divergente!!---
ti ringrazio tantissimo!!!!!!!!!!!!!
P.s. confermi? e diciamo che in genere devo sempre lavorare in questo modo giusto? (intendo dire confronti con serie note, a meno che non siano palesi i risultati)
Quindi vedo come si comporta quando $n$ tende a $oo$. infatti il punto di massimo, quando $n$ tende a $oo$ , tende a $0$.
....
mi ci è voluto un po' ma finalmente credo di aver capito:
sostituendo $1/(1+n)$ nella $ii)$ con un po' di algebretta si arriva ad una serie confrontabile con la serie armonica!!! ---divergente!!---
ti ringrazio tantissimo!!!!!!!!!!!!!
P.s. confermi? e diciamo che in genere devo sempre lavorare in questo modo giusto? (intendo dire confronti con serie note, a meno che non siano palesi i risultati)
Mi sembra giusto.
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