Serie di funzioni (teoria)

[ocram3]

salve. mi sto addentrando nello studio delle serie di funzioni ma c'e' un concetto che non riesco a comprendere bene:
sul mio libro c'e' scritto (riguardo alla convergenza uniforme) che
la successione di funzioni fk converge uniformemente in I verso f se, per ogni epsilon > 0 esiste un indice nu dipendente da epsilon tale che

sup{|fk(x) - f(x) | : x appartiene ad I} < epsilon per ogni k > nu(dipendente da epsilon)

oppure (equivalentemente) se e' soddisfatta la successione di limite (di successione numerica):

lim per k che tende ad infinito di sup{|fk(x) - f(x)| : x appartiene ad I} = 0

quello che non capisco e' che cosa viene inteso per "sup". cioe' so che per sup si intende l'estremo superiore ma non riesco comunque a capire cosa mi vuole dire il testo.

grazie mille

marco



Modificato da - ocram il 08/04/2004 14:26:04

[Principe2]

si tratta semplicemente dell'estremo superiore di quella differenza, nè più nè meno. ti faccio un esempio.

sia fk(x) = x^k, nell'intervallo [0,q], 0
è immediato vedere che le fk convergono puntualmente alla funzione identicamente nulla in tutto l'intervallo; per vedere se questa convergenza è uniforme studiamo:

sup |x^k - 0| = sup x^k

ora, x^k è strettamente crescente, quindi il sup si ha per x=q; quindi

sup x^k = q^k

ora, è sufficiente notare che 0
ti faccio notare, in ultima analisi, che se avessimo considerato l'intervallo [0,1], allora il sup sarebbe stato 1^k = 1, e non avevamo nessuna possibilità di mandarlo a 0!

spero di averti chiarito qualche dubbio,

ciao, ubermensch