Serie di funzioni [risolto]

[gugo82]

Sarà che sto invecchiando e perdo colpi, ma non mi viene in mente come calcolare la somma della seguente serie in $[0,1[$:

$\sum x^(2^k)/(1-x^(2^(k+1))) \quad$.

La convergenza è evidente (infatti, per fissato $x\in [0,1[$, la successione degli addendi è infinitesima d'ordine infinitamente elevato) però non sono riuscito a trovare un modo decente per sommarla: ho provato una scomposizione tipo serie telescopica, giacchè risulta:

$x^(2^k)/(1-x^(2^(k+1)))=1/2*\{1/(1-x^(2^k))-1/(1+x^(2^k))\}$

(infatti $x^(2^(k+1))=(x^(2^k))^2$), e però non ne ho cavato nulla di decente; ho provato anche a integrare e derivare t.a.t., ma m'è parso peggio che andar di notte...

Probabilmente la soluzione è banale, ma non mi vengono in mente altre idee. Voi che dite?

[gugo82]

Risolto... ed era più semplice del previsto!

In effetti basta calcolare le somme parziali e semplificarle: infatti si ha:

$s_0=x/(1-x^2)=1/(1-x)+1/(1-x^2)$
$s_1=1/(1-x)+1/(1-x^2)+x^2/(1-x^4)=1/(1-x)-1/(1-x^4)$

e, per ricorrenza:

$s_n=1/(1-x)-1/(1-x^(2^(n+1)))$

cosicché:

$\sum_(n=0)^(+oo) x^(2^n)/(1-x^(2^(n+1)))=lim_n s_n=1/(1-x)-1=x/(1-x)$.