Serie di funzioni pagani-salsa-bramanti
Salve, sto studiando sul testo di Analisi 2 Pagani-Salsa-Bramanti la parte riguardante le serie di funzioni e di Fourier. Il testo introduce tali argomenti partendo direttamente dalle serie di funzioni, senza minimamente accennare alle successioni di funzioni. Volevo sapere: per studiare le serie di funzioni è necessario conoscere le successioni di funzioni?
Perchè il testo non le cita?
Perchè il testo non le cita?
Risposte
Le serie di funzioni sono successioni di funzioni. Di solito si studiano prima le successioni e poi le serie (almeno per i testi che conosco io). E' possibile che le successioni si trovino nel volume di Analisi I degli stessi autori?
Come accade nel caso numerico, tra serie e successioni di funzioni non c'è una "sostanziale" differenza.
Infatti, assegnata una successione, è sempre possibile riguardarla come successione delle somme parziali di una serie; e viceversa, assegnata una serie, è sempre possibile associarvi una successione (quella delle somme parziali).
L'unica differenza è di ordine pratico e si riassume nel seguente "principio empirico": mentre è semplice studiare la convergenza uniforme di una successione di funzioni (perché è di norma accessibile e calcolabile la funzione limite), è molto difficile studiare la convergenza uniforme di una serie di funzioni (perché è di norma impossibile calcolare esplicitamente sia la somma sia l'espressione delle somme parziali).
Infatti, assegnata una successione, è sempre possibile riguardarla come successione delle somme parziali di una serie; e viceversa, assegnata una serie, è sempre possibile associarvi una successione (quella delle somme parziali).
L'unica differenza è di ordine pratico e si riassume nel seguente "principio empirico": mentre è semplice studiare la convergenza uniforme di una successione di funzioni (perché è di norma accessibile e calcolabile la funzione limite), è molto difficile studiare la convergenza uniforme di una serie di funzioni (perché è di norma impossibile calcolare esplicitamente sia la somma sia l'espressione delle somme parziali).
C'è però da dire che per molti versi le serie sono oggetti "migliori" delle successioni. Durante il corso SMI di quest'estate il professor Milman sottolineava che, ad esempio, non c'è un analogo per le successioni del criterio di convergenza assoluta. Tanto è vero che una tecnica dimostrativa di vari teoremi prevede di passare da una successione ad una serie mediante il trucco
\[a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_k-a_{k-1}\right), \quad a_0=0.\]
Ad esempio su Rudin, Real and complex analysis, si fa così per dimostrare la completezza degli spazi \(L^p\) (Theorem 3.11 pag. 67).
\[a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_k-a_{k-1}\right), \quad a_0=0.\]
Ad esempio su Rudin, Real and complex analysis, si fa così per dimostrare la completezza degli spazi \(L^p\) (Theorem 3.11 pag. 67).
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