Serie di funzioni mi sapete dire se è giusta?
$sum_{n=0}^\infty 2/(x^2n^2+1) $
prima la conv puntuale
per confronto con $ 1/n^2$ la serie converge per ogni $ x \epsilon RR $
adesso posso applicare il test di Weierstrass con la totale trovo la uniforme
il sup|fn| = $2/(4n^2+1)$
$sum_{n=0}^\infty 2/(4n^2+1) $ questa serie converge quindi c'è totale e quindi uniforme in tutto $RR$
mi sembra troppo facile e quindi ci sarà errata fatemi sapere.
prima la conv puntuale
per confronto con $ 1/n^2$ la serie converge per ogni $ x \epsilon RR $
adesso posso applicare il test di Weierstrass con la totale trovo la uniforme
il sup|fn| = $2/(4n^2+1)$
$sum_{n=0}^\infty 2/(4n^2+1) $ questa serie converge quindi c'è totale e quindi uniforme in tutto $RR$
mi sembra troppo facile e quindi ci sarà errata fatemi sapere.
Risposte
"Heaviside":
$sum_{n=0}^\infty 2/(x^2n^2+1) $
prima la conv puntuale
per confronto con $ 1/n^2$ la serie converge per ogni $ x \epsilon RR $
No, no. Sicuramente c'è qualche errore qui, prova con \(x=0\).
con x=0 converge
"Heaviside":
con x=0 converge
Con $x=0$ è $2$
si scusami diverge ok quindi il test di Weierstrass devo farlo in ]0,+infinito[ e ]-infinito,0[
mi puoi spiegare meglio come devo applicarlo in questo caso
mi puoi spiegare meglio come devo applicarlo in questo caso
"Heaviside":
si scusami diverge ok quindi il test di Weierstrass devo farlo in ]0,+infinito[ e ]-infinito,0[
mi puoi spiegare meglio come devo applicarlo in questo caso
Ciao !
Se si fissasse $ r > 0 $ e se si prendesse $ | x | >= r $ allora la studia di $ \sum_(n=0)^(+infty) \frac{2}{x^2 n^2+1} $ sarebbe facile .
Difatti , con $ | x | >= r $ , abbiamo $ \frac{2}{x^2 n^2+1} <= \frac{2}{r^2 n^2} $ quando $ n >= 1 $ .
quindi adesso so che converge uniformente in [r,+infty] [-infty,r] ???
devo anche valutare [-r,r] -{0}?
devo anche valutare [-r,r] -{0}?
"Heaviside":
quindi adesso so che converge uniformente in [r,+infty] [-infty,r] ???
devo anche valutare [-r,r] -{0}?
Devi escludere almeno un intorno di 0.
Cioè la funzione converge uniformemente in $x=(-oo,-r] \U [r,+oo), \ \ \ r \in RR\\{0}$
quindi finisce cosi
Non c'è convergenza uniforme su $RR$
"Heaviside":
quindi finisce cosi
Possiamo dire per concludere :
$ \sum_(n=0)^(+infty) \frac{2}{x^2 n^2 + 1} $
- divergenza se $ x=0 $
- convergenza uniforme sull'insieme $ (-infty , - r ] uu [ r ; +infty ) $ qualsiasi $ r > 0 $
dunque convergenza puntuale sull'insieme $ (-infty , 0 [ uu ] 0 ; +infty ) $
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