Serie di funzioni ed integrabilità
ho dei dubbi sullo svolgimento di 2 esercizi sulle serie di funzioni
$\sum_{n=1}^(+infty) (x^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ : determinare l'insieme di convergenza puntuale $E$
fisso $x$ : se $x=0$ allora $f_n(0)=0/(sqrt(n+1)-sqrt(n)=0$ e anche la serie vale $0$
se $-1
se $x=1$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1))$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n)$ che diverge (ho dei dubbi sull'uso dell'asintotico)
se $x=-1$ avrei $\sum_{n=1}^(+infty) ((-1)^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ e passando ai moduli (è corretto anche per le serie di funzioni?) ottengo il caso $x=1$
se $x<-1$ $x^(n^2+1)$ tende a $+-infty$ a seconda del valore di $n$ e dominando su $(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ la serie diverge: può andare? o avrei dovuto considerare il modulo?
Dunque $E=(-1,1)$.
$\sum_{n=1}^(+infty) arctan(x/n)*e^(-nx^2)$
fissato $x in RR$ , poichè il termine dominante è $e^(-nx^2)->0$ per $n->+infty$ allora vi è convergenza puntuale su tutto $RR$
le $f_n(x)$ sono dispari, quindi per la convergenza uniforme posso studiare solo $[0,+infty)$
$Sup_(x in [0,+infty)) |f_n(x)|$ $=Sup_(x in [0,+infty)) f_n(x)$ $<=Sup_(x in [0,+infty)) (x/n)*e^(-nx^2)$
ora $h_n(x)=(x/n)*e^(-nx^2)$ e $h_n'(x)=(1/n)*e^(-nx^2)(1-2nx^2)$: quindi
$h_n(x)<=h_n(1/sqrt(2n))=e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ e poichè $\sum_{n=1}^(+infty) e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ converge, allora vi è convergenza totale e dunque uniforme in $[0,+infty)$ e di conseguenza in $RR$.
Fino a qui è corretto?
infine ciò che non mi è chiaro è questa aspetto: sia $S(x)$ la somma della serie e sia $S in L^1((0,+infty))$ ( perchè essendo $f_n(x)$ dispari allora ciò implica anche che $S in L^1(RR)$?): perchè essendo $f_n(x)$ dispari e $S in L^1((0,+infty))$ allora, senza nemmeno calcolarlo, si può dire che
$\int_(RR) S(x)dm = 0$ ?
Non ho proprio capito.
Grazie
$\sum_{n=1}^(+infty) (x^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ : determinare l'insieme di convergenza puntuale $E$
fisso $x$ : se $x=0$ allora $f_n(0)=0/(sqrt(n+1)-sqrt(n)=0$ e anche la serie vale $0$
se $-1
se $x=1$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1))$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n)$ che diverge (ho dei dubbi sull'uso dell'asintotico)
se $x=-1$ avrei $\sum_{n=1}^(+infty) ((-1)^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ e passando ai moduli (è corretto anche per le serie di funzioni?) ottengo il caso $x=1$
se $x<-1$ $x^(n^2+1)$ tende a $+-infty$ a seconda del valore di $n$ e dominando su $(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ la serie diverge: può andare? o avrei dovuto considerare il modulo?
Dunque $E=(-1,1)$.
$\sum_{n=1}^(+infty) arctan(x/n)*e^(-nx^2)$
fissato $x in RR$ , poichè il termine dominante è $e^(-nx^2)->0$ per $n->+infty$ allora vi è convergenza puntuale su tutto $RR$
le $f_n(x)$ sono dispari, quindi per la convergenza uniforme posso studiare solo $[0,+infty)$
$Sup_(x in [0,+infty)) |f_n(x)|$ $=Sup_(x in [0,+infty)) f_n(x)$ $<=Sup_(x in [0,+infty)) (x/n)*e^(-nx^2)$
ora $h_n(x)=(x/n)*e^(-nx^2)$ e $h_n'(x)=(1/n)*e^(-nx^2)(1-2nx^2)$: quindi
$h_n(x)<=h_n(1/sqrt(2n))=e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ e poichè $\sum_{n=1}^(+infty) e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ converge, allora vi è convergenza totale e dunque uniforme in $[0,+infty)$ e di conseguenza in $RR$.
Fino a qui è corretto?
infine ciò che non mi è chiaro è questa aspetto: sia $S(x)$ la somma della serie e sia $S in L^1((0,+infty))$ ( perchè essendo $f_n(x)$ dispari allora ciò implica anche che $S in L^1(RR)$?): perchè essendo $f_n(x)$ dispari e $S in L^1((0,+infty))$ allora, senza nemmeno calcolarlo, si può dire che
$\int_(RR) S(x)dm = 0$ ?
Non ho proprio capito.
Grazie
Risposte
No! Cioè abbiamo fatto serie di funzioni e serie di successioni in generale... propriamente sulle serie di potenze per ora nulla!
Ogni esercizio ci è stato detto che si risolve con quel metodo! Altro non so fare e non ci è stato spiegato
Ogni esercizio ci è stato detto che si risolve con quel metodo! Altro non so fare e non ci è stato spiegato
Ah, vabbé, allora lascia stare... Se ne riparlerà quando studierai le serie di potenze.
[ot]Ma comunque mi pare strano trattare successioni e serie in generale e lasciar fuori il caso particolare, ma fondamentale per la teoria, delle serie di potenze... Boh!
Dove studi Ale?[/ot]
[ot]Ma comunque mi pare strano trattare successioni e serie in generale e lasciar fuori il caso particolare, ma fondamentale per la teoria, delle serie di potenze... Boh!
Dove studi Ale?[/ot]
Sono serio gugo82, come hai visto quando è colpa mia sulla teoria lo ammetto! Ma qui davvero le serie di potenze in maniera specifica non sono state trattate!
Il metodo per le serie che ci è stato dato è fissare $x$ e fare il limite con $n$ per la convergenza puntuale
Il metodo per le serie che ci è stato dato è fissare $x$ e fare il limite con $n$ per la convergenza puntuale
Vabbé, me ne farò una ragione... Lascia stare.
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