Serie di funzioni ed integrabilità

[Aletzunny1]

ho dei dubbi sullo svolgimento di 2 esercizi sulle serie di funzioni

$\sum_{n=1}^(+infty) (x^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ : determinare l'insieme di convergenza puntuale $E$

fisso $x$ : se $x=0$ allora $f_n(0)=0/(sqrt(n+1)-sqrt(n)=0$ e anche la serie vale $0$

se $-1
se $x=1$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1))$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n)$ che diverge (ho dei dubbi sull'uso dell'asintotico)

se $x=-1$ avrei $\sum_{n=1}^(+infty) ((-1)^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ e passando ai moduli (è corretto anche per le serie di funzioni?) ottengo il caso $x=1$

se $x<-1$ $x^(n^2+1)$ tende a $+-infty$ a seconda del valore di $n$ e dominando su $(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ la serie diverge: può andare? o avrei dovuto considerare il modulo?

Dunque $E=(-1,1)$.


$\sum_{n=1}^(+infty) arctan(x/n)*e^(-nx^2)$

fissato $x in RR$ , poichè il termine dominante è $e^(-nx^2)->0$ per $n->+infty$ allora vi è convergenza puntuale su tutto $RR$

le $f_n(x)$ sono dispari, quindi per la convergenza uniforme posso studiare solo $[0,+infty)$

$Sup_(x in [0,+infty)) |f_n(x)|$ $=Sup_(x in [0,+infty)) f_n(x)$ $<=Sup_(x in [0,+infty)) (x/n)*e^(-nx^2)$

ora $h_n(x)=(x/n)*e^(-nx^2)$ e $h_n'(x)=(1/n)*e^(-nx^2)(1-2nx^2)$: quindi
$h_n(x)<=h_n(1/sqrt(2n))=e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ e poichè $\sum_{n=1}^(+infty) e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ converge, allora vi è convergenza totale e dunque uniforme in $[0,+infty)$ e di conseguenza in $RR$.
Fino a qui è corretto?

infine ciò che non mi è chiaro è questa aspetto: sia $S(x)$ la somma della serie e sia $S in L^1((0,+infty))$ ( perchè essendo $f_n(x)$ dispari allora ciò implica anche che $S in L^1(RR)$?): perchè essendo $f_n(x)$ dispari e $S in L^1((0,+infty))$ allora, senza nemmeno calcolarlo, si può dire che
$\int_(RR) S(x)dm = 0$ ?
Non ho proprio capito.

Grazie

[Mephlip]

"Aletzunny":
se $x=1$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1))$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n)$ che diverge (ho dei dubbi sull'uso dell'asintotico.

Fai bene ad averne, qual è la definizione di stima asintotica?
Comunque non serve, prova a fare ciò che dovresti fare sempre all'inizio di qualsiasi esercizio sulle serie.

"Aletzunny":
se $x=-1$ avrei $\sum_{n=1}^(+infty) ((-1)^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ e passando ai moduli (è corretto anche per le serie di funzioni?) ottengo il caso $x=1$

Se $x$ è fissato non stai più studiando una serie di funzioni, ma una serie numerica.

"Aletzunny":$x<-1$ $x^(n^2+1)$ tende a $+-infty$ a seconda del valore di $n$ e dominando su $(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ la serie diverge: può andare? o avrei dovuto considerare il modulo?

Corretto, perché parli del modulo? Se una serie diverge in modulo non puoi dedurre nulla. Perché non hai trattato il caso $x>1$? Hai scritto $E=(-1,1)$, quindi magari semplicemente non l'hai riportato qui.

Per la seconda appena ho più tempo (e se sono in grado) rispondo, l'unica cosa che posso dirti al volo è che l'integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico è zero; prova a dimostrarlo.

[Aletzunny1]

Allora se $x=1$ non mi viene in mente come poter fare per dimostrare che la serie diverge.

Allo stesso modo se $x=-1$ non riesco a capire bene come fare anche quel caso! Mi veniva in mente il modulo perché avendo fissato $x=-1$ mettevo il modulo per eliminare il problema (sfruttando il fatto che la conv.assolura implica quella semplice)

Si, se $x>1$ mi sono dimenticato di scriverlo! Essendo $x^(n^2+1)$ divergente e dominante, allora anche la serie diverge.

Sull'integrale con una dimostrazione grafica ho intuito il perché!
Grazie

[Mephlip]

"Aletzunny":Allora se $ x=1 $ non mi viene in mente come poter fare per dimostrare che la serie diverge.
Allo stesso modo se $ x=-1 $ non riesco a capire bene come fare anche quel caso! Mi veniva in mente il modulo perché avendo fissato $ x=-1 $ mettevo il modulo per eliminare il problema (sfruttando il fatto che la conv.assolura implica quella semplice)

Prova a calcolare
$$\lim_{n \to \infty} f_n(1)$$
E
$$\lim_{n \to \infty} f_n(-1)$$

"Aletzunny":
Sull'integrale con una dimostrazione grafica ho intuito il perché!
Grazie

Bene, ora prova a dimostrarlo come si deve (quando ti pare, ovviamente; se serve sono qui).

[Aletzunny1]

"Mephlip":[quote="Aletzunny"]Allora se $ x=1 $ non mi viene in mente come poter fare per dimostrare che la serie diverge.
Allo stesso modo se $ x=-1 $ non riesco a capire bene come fare anche quel caso! Mi veniva in mente il modulo perché avendo fissato $ x=-1 $ mettevo il modulo per eliminare il problema (sfruttando il fatto che la conv.assolura implica quella semplice)

Prova a calcolare
$$\lim_{n \to \infty} f_n(1)$$
E
$$\lim_{n \to \infty} f_n(-1)$$

"Aletzunny":
Sull'integrale con una dimostrazione grafica ho intuito il perché!
Grazie

Bene, ora prova a dimostrarlo come si deve (quando ti pare, ovviamente; se serve sono qui).[/quote]

Ma $lim_(n->+infty) f_n(1)= 1/(sqrt(n+1)-sqrt(n))=0$ e quindi non capisco cosa posso dedurre.

Invece $lim_(n->+infty)(-1)^(n^2+1)/(sqrt(n+1)-sqrt(n))$ non ha limite perché dipende dal valore di $n^2$
Ma non so sicurissimo

[Mephlip]

"Aletzunny":
Ma $lim_(n->+infty) f_n(1)= 1/(sqrt(n+1)-sqrt(n))=0$ e quindi non capisco cosa posso dedurre.

No. Al denominatore hai una forma indeterminata $\infty-\infty$, non so come hai dedotto che il limite è $0$; fai per bene quel limite.

"Aletzunny":
Invece $lim_(n->+infty)(-1)^(n^2+1)/(sqrt(n+1)-sqrt(n))$ non ha limite perché dipende dal valore di $n^2$
Ma non so sicurissimo

Questo è vero, ma contraddice quello che hai detto su; se il limite di prima (quello senza il $-1$ oscillante al numeratore) è $0$ (ossia il denominatore, per essere coerenti con la tua affermazione che il limite di prima è $0$, deve tendere a $\infty$), dovrebbe esserlo anche questo visto che è lo stesso ma ha una costante che alterna il suo segno al numeratore. Quindi c'è qualcosa che non va.

[Aletzunny1]

$1/(sqrt(n+1)-sqrt(n))=1/(sqrt(n)*sqrt(1+1/n)-sqrt(n))=1/(sqrt(n)*(1+1/n-1))=sqrt(n)->+infty$ e dunque la serie diverge!

Ma ora con $x=-1$ non so come fare!

[Mephlip]

Non so come rispondere, nel senso che quando scrivi sei spannometrico. Se faccio l'ottimista e suppongo che tu volessi scrivere
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n} \left(1+\frac{1}{2n}+\text{o}\left(\frac{1}{n}\right)-1\right)}=\infty$$
Allora ti direi "sì, giusto", ma così non è stato. Inoltre rispondi molto velocemente, sembra che neanche ci pensi più di tanto. Non è così che funziona, anche perché è una cosa che danneggia soprattutto te (visto che la matematica si impara facendola, personalmente mi sono state molto più utili le ore impiegate senza cavare un ragno dal buco che tutte gli esercizi svolti fatti all'università).

"Aletzunny":Ma ora con x=−1 non so come fare!

Ma è sostanzialmente uguale, è lo stesso limite solo che oscilla. Quindi, visto che ora hai capito come si comporta il limite senza quel fattore oscillante, puoi concludere immediatamente. Stesso discorso di prima qua.

[Aletzunny1]

"Mephlip":Non so come rispondere, nel senso che quando scrivi sei spannometrico. Se faccio l'ottimista e suppongo che tu volessi scrivere
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n} \left(1+\frac{1}{2n}+\text{o}\left(\frac{1}{n}\right)-1\right)}=\infty$$
Allora ti direi "sì, giusto", ma così non è stato. Inoltre rispondi molto velocemente, sembra che neanche ci pensi più di tanto. Non è così che funziona, anche perché è una cosa che danneggia soprattutto te (visto che la matematica si impara facendola, personalmente mi sono state molto più utili le ore impiegate senza cavare un ragno dal buco che tutte gli esercizi svolti fatti all'università).
[quote="Aletzunny"]Ma ora con x=−1 non so come fare!

Ma è sostanzialmente uguale, è lo stesso limite solo che oscilla. Quindi, visto che ora hai capito come si comporta il limite senza quel fattore oscillante, puoi concludere immediatamente. Stesso discorso di prima qua.[/quote]



Ma per $x=-1$, come posso calcolare il limite se dipende da $n$ ? Posso direttamente concludere che il limite non esiste e di conseguenza la serie?

[Mephlip]

Come dimostreresti che
$$lim_{n o infty} (-1)^n n$$
non esiste?

[Aletzunny1]

Perché $(-1)^n$ oscilla tra $1$ e $-1$ al variare di n

[Mephlip]

Appunto, quindi questo fa assumere al limite un valore che non è unico (e si dimostra che il limite, se esiste, è unico; quindi ciò contraddice questo teorema e pertanto concludi la non esistenza del limite).
Qui cosa cambia? Ancora più in anticipo rispetto a Taylor, puoi notare che
$$(-1)^{n^2+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=(-1)^{n^2+1}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=(-1)^{n^2+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})$$
E quindi hai praticamente la stessa situazione di $(-1)^n \cdot (\text{roba che va all'infinito})$, visto che $(-1)^{n^2+1}\in{-1,1}$.
Perciò, come si potrebbe fare per far assumere al limite due valori differenti in modo tale da mostrare la non esistenza dello stesso?

[gugo82]

"Aletzunny":$\sum_{n=1}^(+infty) (x^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ : determinare l'insieme di convergenza puntuale $E$

fisso $x$ : se $x=0$ allora $f_n(0)=0/(sqrt(n+1)-sqrt(n)=0$ e anche la serie vale $0$

se $-1
se $x=1$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1))$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n)$ che diverge (ho dei dubbi sull'uso dell'asintotico)

se $x=-1$ avrei $\sum_{n=1}^(+infty) ((-1)^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ e passando ai moduli (è corretto anche per le serie di funzioni?) ottengo il caso $x=1$

se $x<-1$ $x^(n^2+1)$ tende a $+-infty$ a seconda del valore di $n$ e dominando su $(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ la serie diverge: può andare? o avrei dovuto considerare il modulo?

Dunque $E=(-1,1)$.

Ale, ma perché tutto 'sto casino se hai sotto mano una serie di potenze?
Le serie di potenze sono semplici perché sai dire vita, morte e miracoli del loro insieme di convergenza: basta calcolare un (massimo)limite.

"Aletzunny": $\sum_{n=1}^(+infty) arctan(x/n)*e^(-nx^2)$

fissato $x in RR$ , poichè il termine dominante è $e^(-nx^2)->0$ per $n->+infty$ allora vi è convergenza puntuale su tutto $RR$

le $f_n(x)$ sono dispari, quindi per la convergenza uniforme posso studiare solo $[0,+infty)$

$Sup_(x in [0,+infty)) |f_n(x)|$ $=Sup_(x in [0,+infty)) f_n(x)$ $<=Sup_(x in [0,+infty)) (x/n)*e^(-nx^2)$

ora $h_n(x)=(x/n)*e^(-nx^2)$ e $h_n'(x)=(1/n)*e^(-nx^2)(1-2nx^2)$: quindi
$h_n(x)<=h_n(1/sqrt(2n))=e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ e poichè $\sum_{n=1}^(+infty) e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ converge, allora vi è convergenza totale e dunque uniforme in $[0,+infty)$ e di conseguenza in $RR$.
Fino a qui è corretto?

Pare di sì.

"Aletzunny":infine ciò che non mi è chiaro è questa aspetto: sia $S(x)$ la somma della serie e sia $S in L^1(0,+infty)$ (perché essendo $f_n(x)$ dispari allora ciò implica anche che $S in L^1(RR)$?): perchè essendo $f_n(x)$ dispari e $S in L^1((0,+infty))$ allora, senza nemmeno calcolarlo, si può dire che
$\int_(RR) S(x)dm = 0$ ?
Non ho proprio capito.

Quel "sia $S in L^1(0,+oo)$" lo devi dimostrare. Convergenza monotòna, non trovi?

In più, per simmetria puoi pure dire che $S in L^1(-oo,0)$, non ti pare?
Cosa ottieni se metti insieme le due appartenenze appena dimostrate?

E, sempre per simmetria, quanto vale l'interale di $S$ (o di una qualsiasi funzione dispari) su tutto $RR$?

[Aletzunny1]

"Mephlip":Appunto, quindi questo fa assumere al limite un valore che non è unico (e si dimostra che il limite, se esiste, è unico; quindi ciò contraddice questo teorema e pertanto concludi la non esistenza del limite).
Qui cosa cambia? Ancora più in anticipo rispetto a Taylor, puoi notare che
$$(-1)^{n^2+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=(-1)^{n^2+1}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=(-1)^{n^2+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})$$
E quindi hai praticamente la stessa situazione di $(-1)^n \cdot (\text{roba che va all'infinito})$, visto che $(-1)^{n^2+1}\in{-1,1}$.
Perciò, come si potrebbe fare per far assumere al limite due valori differenti in modo tale da mostrare la non esistenza dello stesso?

Bhe ma il limite non essendo unico, oltre a non esistere tende a $+-infty$, dunque la serie diverge

[Aletzunny1]

"gugo82":[quote="Aletzunny"]$\sum_{n=1}^(+infty) (x^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ : determinare l'insieme di convergenza puntuale $E$

fisso $x$ : se $x=0$ allora $f_n(0)=0/(sqrt(n+1)-sqrt(n)=0$ e anche la serie vale $0$

se $-1
se $x=1$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1))$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n)$ che diverge (ho dei dubbi sull'uso dell'asintotico)

se $x=-1$ avrei $\sum_{n=1}^(+infty) ((-1)^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ e passando ai moduli (è corretto anche per le serie di funzioni?) ottengo il caso $x=1$

se $x<-1$ $x^(n^2+1)$ tende a $+-infty$ a seconda del valore di $n$ e dominando su $(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ la serie diverge: può andare? o avrei dovuto considerare il modulo?

Dunque $E=(-1,1)$.

Ale, ma perché tutto 'sto casino se hai sotto mano una serie di potenze?
Le serie di potenze sono semplici perché sai dire vita, morte e miracoli del loro insieme di convergenza: basta calcolare un (massimo)limite.

"Aletzunny": $\sum_{n=1}^(+infty) arctan(x/n)*e^(-nx^2)$

fissato $x in RR$ , poichè il termine dominante è $e^(-nx^2)->0$ per $n->+infty$ allora vi è convergenza puntuale su tutto $RR$

le $f_n(x)$ sono dispari, quindi per la convergenza uniforme posso studiare solo $[0,+infty)$

$Sup_(x in [0,+infty)) |f_n(x)|$ $=Sup_(x in [0,+infty)) f_n(x)$ $<=Sup_(x in [0,+infty)) (x/n)*e^(-nx^2)$

ora $h_n(x)=(x/n)*e^(-nx^2)$ e $h_n'(x)=(1/n)*e^(-nx^2)(1-2nx^2)$: quindi
$h_n(x)<=h_n(1/sqrt(2n))=e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ e poichè $\sum_{n=1}^(+infty) e^(-1/2)/sqrt(2)*(1/n^(3/2))$ converge, allora vi è convergenza totale e dunque uniforme in $[0,+infty)$ e di conseguenza in $RR$.
Fino a qui è corretto?

Pare di sì.

"Aletzunny":infine ciò che non mi è chiaro è questa aspetto: sia $S(x)$ la somma della serie e sia $S in L^1(0,+infty)$ (perché essendo $f_n(x)$ dispari allora ciò implica anche che $S in L^1(RR)$?): perchè essendo $f_n(x)$ dispari e $S in L^1((0,+infty))$ allora, senza nemmeno calcolarlo, si può dire che
$\int_(RR) S(x)dm = 0$ ?
Non ho proprio capito.

Quel "sia $S in L^1(0,+oo)$" lo devi dimostrare. Convergenza monotòna, non trovi?

In più, per simmetria puoi pure dire che $S in L^1(-oo,0)$, non ti pare?
Cosa ottieni se metti insieme le due appartenenze appena dimostrate?

E, sempre per simmetria, quanto vale l'interale di $S$ (o di una qualsiasi funzione dispari) su tutto $RR$?[/quote]

Cosa intendi, non ho mai affrontato questo "metodo" per le serie di funzioni.

Per il resto penso di aver capito!

[gugo82]

"Aletzunny":Cosa intendi, non ho mai affrontato questo "metodo" per le serie di funzioni.

Quale "metodo"?
Non mi pare di averne esposto alcuno...

[Aletzunny1]

"gugo82":[quote="Aletzunny"]Cosa intendi, non ho mai affrontato questo "metodo" per le serie di funzioni.

Quale "metodo"?
Non mi pare di averne esposto alcuno... [/quote]

Mi sono espresso male...in che senso "basta calcolare al massimo un limite"?
A noi hanno fatto vedere a risolverle solo in questo modo qui

[Mephlip]

Scusami Aletzunny, sono pedante perché voglio che ti siano chiare le cose e non perché mi diverto a "massacrarti" (lo dico per evitare fraintendimenti, non sto sottintendendo che tu abbia avuto un pensiero del genere ).
Premesso ciò, riguardo a questo

"Aletzunny":
Bhe ma il limite non essendo unico, oltre a non esistere tende a $+-infty$, dunque la serie diverge

Ti rendi conto che questa frase non ha senso? Una cosa o non esiste o tende a qualcosa. La serie non converge perché non vale la condizione necessaria di convergenza, la condizione necessaria non vale perché il limite non esiste (non perché "oltre a non esistere tende a $pm infty$").
Idea brutale: sui pari $(-1)^n (sqrt{n+1}+sqrt{n})$ tende a $infty$, sui dispari $(-1)^n (sqrt{n+1}+sqrt{n})$ tende a $-infty$, quindi il limite non può esistere perché ci sono queste oscillazioni.
Formalizzazione: sia $a_n=(-1)^n (sqrt{n+1}-sqrt{n})$, siano $k,linmathbb{N}$ e consideriamo le seguenti due sottosuccessioni di $(a_n)_{ninmathbb{N}}$
$$a_{2k}=(-1)^{2k} (sqrt{2k+1}+sqrt{2k})=sqrt{2k+1}+sqrt{2k}$$
$$a_{2l+1}=(-1)^{2l+1}(sqrt{2l+2}+sqrt{2l+1})=-(sqrt{2l+2}+sqrt{2l+1})$$
Si ha che $a_{2k} o infty$ per $k oinfty$ e $a_{2l+1} o -infty$ per $l oinfty$, dunque il limite di $(a_n)_n$ non esiste perché deve essere unico anche se la successione è ristretta a sottosuccessioni (perché devono avere lo stesso limite sia la successione "madre" che le sottosuccessioni "figliole").

Comunque, come ti hanno già detto in passato, non dovresti citare tutto il messaggio: hai sotto ai messaggi il pulsante "rispondi" per rispondere senza citare. Se ti vuoi riferire a qualcuno che non colui che scrive immediatamente sopra di te (si dà per scontato che, se non è specificato diversamente, si stia parlando con l'ultimo utente che ha scritto) basta anticipare al suo nickname una chiocciola (tipo @Mephlip).
Se invece vuoi citare parti specifiche del testo allora è semplice: clicca su "cita" in questo mio messaggio e vedrai che all'inizio, per riferirmi solo alla parte che ho citato, ho cliccato "cita" sul tuo messaggio, ho ottenuto la citazione di tutto il tuo messaggio e ho eliminato tutto quello che non volevo citare lasciando solo quello che volevo citare nelle parentesi quadre con le scritte quote=Aletzunny e /quote.
Ti prego di fare un po' di pratica con "anteprima messaggio" per capire come funziona, è veramente disturbante vedere mezza pagina di thread riempita da copie di messaggi citati senza un motivo.

[gugo82]

"Aletzunny":[quote="gugo82"][quote="Aletzunny"]Cosa intendi, non ho mai affrontato questo "metodo" per le serie di funzioni.

Quale "metodo"?
Non mi pare di averne esposto alcuno... [/quote]
Mi sono espresso male...in che senso "basta calcolare al massimo un limite"?
A noi hanno fatto vedere a risolverle solo in questo modo qui[/quote]
Cioè, non hai mai visto com'è fatto l'insieme di convergenza di una serie di potenze?

[Aletzunny1]

@Mephlip ho capito cosa intendi! Hai ragione, anche l'esprimere correttamente un concetto è fondamentale!

@gugo82 mi hanno sempre detto: fissi $x$ e fai il limite per $n->+infty$
Che trucchetto ci sarebbe?
G

[gugo82]

Ale, non è questione di "trucchetti", è proprio conoscenza delle nozioni teoriche di base. Le hai studiate le serie di potenze? Conosci i teoremi sulle serie di potenze o no?