Serie di funzioni, dubbi operativi
Salve. Dato come esercizio lo studio della convergenza di una serie di funzioni, in che modo bisogna procedere?
io mi vedo davanti una serie di funzioni qualsiasi: come faccio a dire se converge (uniformemente, totalmente), diverge etc?
come si può operare? un punto di inizio ci sarà pure..
io mi vedo davanti una serie di funzioni qualsiasi: come faccio a dire se converge (uniformemente, totalmente), diverge etc?
come si può operare? un punto di inizio ci sarà pure..
Risposte
Il punto di inizio c'è: prendere il libro e studiare la teoria (non prenderla come una battuta).
si, lo so. Ma un libro di testo non ce l'abbiamo e gli appunti sono molto vacui. Per questo chiedo qui. Il fatto di aver spiegato le serie di funzioni in analisi 1 a ridosso dell'esame toglie rigorosità e maturità, nonchè il giusto tempo per studiare come dovuto. Quindi se potresti indicarmi un link dove sono spiegate decentemente, te ne sarei grato.
E vabbé, ma purtroppo non si può improvvisare proprio tutto da zero qui sul forum. Un libro di testo si può anche consultare autonomamente, senza che qualche professore ce lo imponga. Ad esempio una buona scelta è il secondo volume di Marcellini-Sbordone-Fusco, che tratta le serie di funzioni nel primo capitolo.
Comunque, in linea di massima occorre prima studiare la convergenza puntuale, trattando la variabile come un parametro, e poi la convergenza uniforme, usando come punto di partenza il test di Weierstrass. Questa qui è la punta dell'iceberg.
Comunque, in linea di massima occorre prima studiare la convergenza puntuale, trattando la variabile come un parametro, e poi la convergenza uniforme, usando come punto di partenza il test di Weierstrass. Questa qui è la punta dell'iceberg.
ho capito.. ecco proprio quel test di Weierstrass che non ho inteso...ad ogni modo, ricondotta una serie ad una serie di funzioni, quindi sapendo dove e in che modo converge, quali sono i modi per calcolarne, ove possibile la somma? ad esempio data la serie
$ (sum_(n=1))^(+oo) (2^(n-1) x^n)/((n-1)!) $
ho trovato che l'intervallo di convergenza è $RR$. Come faccio ora a calcolarne la somma? io ho pensato di fare:
$ (sum_(n=1))^(+oo) (2^(n-1) x^n)/(n-1)!$ = $ x(sum_(n=1))^(+oo) (2^(n-1) x^(n-1))/((n-1)*(n-2)!)$ =
$ x(sum_(n=1))^(+oo) ((2 x)^(n-1))/((n-1)(n-2)!)$
ma non so dove arrivare né che fare.
P.s. scusate per il simbolo di sommatoria malfatto. quello vuole essere una sommatoria che va da 1 a più infinto.
$ (sum_(n=1))^(+oo) (2^(n-1) x^n)/((n-1)!) $
ho trovato che l'intervallo di convergenza è $RR$. Come faccio ora a calcolarne la somma? io ho pensato di fare:
$ (sum_(n=1))^(+oo) (2^(n-1) x^n)/(n-1)!$ = $ x(sum_(n=1))^(+oo) (2^(n-1) x^(n-1))/((n-1)*(n-2)!)$ =
$ x(sum_(n=1))^(+oo) ((2 x)^(n-1))/((n-1)(n-2)!)$
ma non so dove arrivare né che fare.
P.s. scusate per il simbolo di sommatoria malfatto. quello vuole essere una sommatoria che va da 1 a più infinto.
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