Serie di funzioni, convergenza uniforme
La serie data è:
$\sum_{n=1}^\infty 1/(n+1)*(x/(1+x))^n$
Che ho giò verificato essere convergente puntualmente in $[-1/2, +infty[$, quindi la convergenza uniforme va studiata in questo intervallo.
Ma in questo caso non so come studiarla. -.-
Qualche idea?
PS Non ho ancora fatto le serie di potenze, quindi non posso andare a "pescare" nulla da lì.
$\sum_{n=1}^\infty 1/(n+1)*(x/(1+x))^n$
Che ho giò verificato essere convergente puntualmente in $[-1/2, +infty[$, quindi la convergenza uniforme va studiata in questo intervallo.
Ma in questo caso non so come studiarla. -.-
Qualche idea?
PS Non ho ancora fatto le serie di potenze, quindi non posso andare a "pescare" nulla da lì.
Risposte
Potresti provare a seguire questo ragionamento: Ponendo $x/{x+1}=t$ ottieni
$\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n+1}=\frac{1}{t}\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{t}\sum_{m=2}^\infty\frac{t^m}{m}$.
Ora la serie di Taylor
$\ln(1-t)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n}=-t-\sum_{n=2}^\infty\frac{t^n}{n}$
ti porta a concludere che
$\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n+1}=-\frac{t+\ln(1-t)}{t}$
e quindi sostituendo l'espressione per $t$
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\cdot(x/{x+1})^n=-1-\frac{x+1}{x}\cdot\ln(1/{x+1})=-1+(1+1/x)\cdot\ln(x+1)$
e quindi verificare quando tale funzione assume valori finiti (che rappresentano la somma della serie di funzioni).
P.S.: i calcoli svolti sopra sono solo "formali" e si basano sull'aver supposto che la serie converga nei punti $|t|<1$.
$\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n+1}=\frac{1}{t}\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{t}\sum_{m=2}^\infty\frac{t^m}{m}$.
Ora la serie di Taylor
$\ln(1-t)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n}=-t-\sum_{n=2}^\infty\frac{t^n}{n}$
ti porta a concludere che
$\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n+1}=-\frac{t+\ln(1-t)}{t}$
e quindi sostituendo l'espressione per $t$
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\cdot(x/{x+1})^n=-1-\frac{x+1}{x}\cdot\ln(1/{x+1})=-1+(1+1/x)\cdot\ln(x+1)$
e quindi verificare quando tale funzione assume valori finiti (che rappresentano la somma della serie di funzioni).
P.S.: i calcoli svolti sopra sono solo "formali" e si basano sull'aver supposto che la serie converga nei punti $|t|<1$.
Ma trovare le x per cui la somma è finita, non vuol dire vedere dove converge puntualmente?
Non esiste un modo meno "complicato"? Cioè in genere, come procedimento standard, come si fa a vedere dove una serie di potenze converge uniformemente?
Non esiste un modo meno "complicato"? Cioè in genere, come procedimento standard, come si fa a vedere dove una serie di potenze converge uniformemente?
Con le serie di potenze è (abbastanza) semplice: devi calcolare il raggio di convergenza della serie e, se esso è pari a $R$, puoi concludere che la serie converge per $|x-x_0|< R$, dove $x_0$ è il punto in cui la serie è centrata. Per effettuare tale calcolo ti basta determinare il valore di
$R=\lim_{n\rightarrow+\infty}|a_n/a_{n+1}|$
per la serie
$\sum_{n=1}^\infty a_n\ (x-x_0)^n$.
Ciò ti permette di concludere che la serie converge assolutamente per ogni $|x-x_0|
Nel tuo caso, essendo $a_n=\frac{1}{n+1}$ trovi $R=1$ e quindi $|t|<1$ che implica $-1\ -1/2$. A questo punto puoi concludere che la serie converge assolutamente su tale insieme e uniformemente su ogni compatto (intervallo chiuso e limitato $[a,b]$) contenuto in tale insieme.
$R=\lim_{n\rightarrow+\infty}|a_n/a_{n+1}|$
per la serie
$\sum_{n=1}^\infty a_n\ (x-x_0)^n$.
Ciò ti permette di concludere che la serie converge assolutamente per ogni $|x-x_0|
Nel tuo caso, essendo $a_n=\frac{1}{n+1}$ trovi $R=1$ e quindi $|t|<1$ che implica $-1
Scusa ho sbagliato a scrivere -.- Volevo dire, in genere, come si fa a vedere dove una serie di FUNZIONI converge uniformemente?
Consiglio scontato: l'unico test universale di convergenza uniforme di una serie di funzioni è quello di Weierstrass. (Se $|f_n(x)|<=M_n$ per ogni $x\inI$ e $sum_{n=0}^inftyM_n$ converge allora la serie $sum_{n=1}^inftyf_n(x)$ converge uniformemente e assolutamente in $I$).
Puoi provare ad applicare questo test alla tua serie di funzioni. Il sistema più ovvio è:
poni $M_n="sup"{|f_n(x)|\ :\ x\in[-1/2, infty)}$ e verifica se $sum_{n=1}^inftyM_n$ converge. Se sì la serie converge uniformemente. Altrimenti prova a restringere l'intervallo $[-1/2, infty)$. Tieni presente che se questo test fallisce non puoi concludere che la serie non converge uniformemente; semplicemente non puoi dire nulla.
Puoi provare ad applicare questo test alla tua serie di funzioni. Il sistema più ovvio è:
poni $M_n="sup"{|f_n(x)|\ :\ x\in[-1/2, infty)}$ e verifica se $sum_{n=1}^inftyM_n$ converge. Se sì la serie converge uniformemente. Altrimenti prova a restringere l'intervallo $[-1/2, infty)$. Tieni presente che se questo test fallisce non puoi concludere che la serie non converge uniformemente; semplicemente non puoi dire nulla.
Però posso concludere che non converge totalmente, è corretto?
Certo, alcuni autori chiamano "convergenti totalmente" le serie di funzioni che passano il test di Weierstrass. Perciò diremo che "non convergono totalmente" le serie di funzioni che invece il test non lo passano.
Come certamente saprai, questo non implica nulla, nel senso che una serie può convergere uniformemente e non totalmente (se serve posso postare degli esempi in merito).
Come certamente saprai, questo non implica nulla, nel senso che una serie può convergere uniformemente e non totalmente (se serve posso postare degli esempi in merito).
No vabè, è chiaro, almeno questo lo sapevo... 
Quindi se non passa il test di Weirstrasse, cosa mi resta per verificare la convergenza uniforme?
Io so che nelle serie a segno alterno che soddisfano Liebniz, si può sfruttare il fatto che:
$|S_n(x)-S(x)|
Per cui passando ai sup si può verificare, o meno, la convergenza uniforme.
Ma in questo caso? T_T
Quindi se non passa il test di Weirstrasse, cosa mi resta per verificare la convergenza uniforme?
Io so che nelle serie a segno alterno che soddisfano Liebniz, si può sfruttare il fatto che:
$|S_n(x)-S(x)|
Per cui passando ai sup si può verificare, o meno, la convergenza uniforme.
Ma in questo caso? T_T
In questo caso sei sicuro che non ci sia convergenza totale? Nel dubbio faccio qualche conto, dimmi se ti ritrovi:
Poniamo $q=q(x)=x/(1+x)$, allora la serie è $sum1/(n+1)q(x)^n$ (uso la $q$ per ricordare la serie geometrica $sumq^n$).
Certamente se $q(x)>=1$ la serie non converge ($q(x)^n$ in questi casi o è 1 oppure addirittura diverge esponenzialmente);
Se $-1
Se $-1
Perciò la serie converge quando $-1<=q(x)<1$. La convergenza, chiaramente, non è totale: infatti $"sup"{1/(n+1)q(x)^n\ :\ -1<=q(x)<1}=1/(n+1)$, troppo grande per passare il test di Weierstrass.
Ora chiamo $y=q(x)$ per semplicità. La convergenza non è totale perché $y$ può avvicinarsi pericolosamente a $+-1$; ma se noi le tagliamo le ali, vincolandola in un intervallo compatto $y\in[-delta, delta]$ per qualche $delta<1$, allora
$"sup"{1/(n+1)y^n\ :\ y\in[-delta, delta]}=1/(n+1)delta^n$ e $sum1/(n+1)delta^n$ converge.
Pertanto c'è convergenza totale in ogni compatto $K\subRR$ tale che $(x\inK)=>(-delta<=q(x)<=delta)$.
E' sufficiente questa informazione?
Poniamo $q=q(x)=x/(1+x)$, allora la serie è $sum1/(n+1)q(x)^n$ (uso la $q$ per ricordare la serie geometrica $sumq^n$).
Certamente se $q(x)>=1$ la serie non converge ($q(x)^n$ in questi casi o è 1 oppure addirittura diverge esponenzialmente);
Se $-1
Se $-1
Perciò la serie converge quando $-1<=q(x)<1$. La convergenza, chiaramente, non è totale: infatti $"sup"{1/(n+1)q(x)^n\ :\ -1<=q(x)<1}=1/(n+1)$, troppo grande per passare il test di Weierstrass.
Ora chiamo $y=q(x)$ per semplicità. La convergenza non è totale perché $y$ può avvicinarsi pericolosamente a $+-1$; ma se noi le tagliamo le ali, vincolandola in un intervallo compatto $y\in[-delta, delta]$ per qualche $delta<1$, allora
$"sup"{1/(n+1)y^n\ :\ y\in[-delta, delta]}=1/(n+1)delta^n$ e $sum1/(n+1)delta^n$ converge.
Pertanto c'è convergenza totale in ogni compatto $K\subRR$ tale che $(x\inK)=>(-delta<=q(x)<=delta)$.
E' sufficiente questa informazione?
Si mi torna, grazie
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