Serie di funzioni (convergenza uniforme)
Mi trovo un pò in difficoltà a calcolare la convergenza uniforme di questa serie:
$ sum_(n = 1\ldots+oo ) (1/(n+\sqrt(n^2-1)))^x $
L'esercizio chiede di stabilire per quali x di R la serie converge almeno puntualmente;
(utilizzando il confronto con la serie 1/n sono arrivato a dire che converge per x>1)
poi l'esercizio chiede di stabilire se la serie converge uniformemente nell’intervallo [1,+inf] motivando
adeguatamente;
(direi che non converge in [1,+inf] perchè in 1 la serie non converge neanche puntualmente)
infine si chiede di stabilire se la serie converge uniformemente nell’intervallo [pigreco,2pigreco] motivando adeguatamente.
A questo punto dovrei far la derivata della funzione e vedere dove si azzera per utilizzare la convergenza totale?
$ sum_(n = 1\ldots+oo ) (1/(n+\sqrt(n^2-1)))^x $
L'esercizio chiede di stabilire per quali x di R la serie converge almeno puntualmente;
(utilizzando il confronto con la serie 1/n sono arrivato a dire che converge per x>1)
poi l'esercizio chiede di stabilire se la serie converge uniformemente nell’intervallo [1,+inf] motivando
adeguatamente;
(direi che non converge in [1,+inf] perchè in 1 la serie non converge neanche puntualmente)
infine si chiede di stabilire se la serie converge uniformemente nell’intervallo [pigreco,2pigreco] motivando adeguatamente.
A questo punto dovrei far la derivata della funzione e vedere dove si azzera per utilizzare la convergenza totale?
Risposte
Si ha che
$\sum 1/n^\alpha,\ \alpha>1$
converge.
Siccome $1/(n+sqrt(n^2-1))<1/n$, a maggior ragione la tua serie converge in $x\in[\pi, 2\pi]$ per confronto.
E' finito qui.
$\sum 1/n^\alpha,\ \alpha>1$
converge.
Siccome $1/(n+sqrt(n^2-1))<1/n$, a maggior ragione la tua serie converge in $x\in[\pi, 2\pi]$ per confronto.
E' finito qui.
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