Serie di funzioni: convergenza puntuale e totale
Salve. Ho dei problemi per quanto riguarda la comprensione del seguente esercizio svolto dalla mia professoressa di analisi.
Si consideri la serie di funzioni $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\e^(-n^2x)$
a) Determinare l'insieme $I$ dei punti in cui converge puntualmente.
b) Stabilire se la seria converge totalmente in $I$ oppure, in caso contrario, stabilire in quali intervalli contenuti in $I$ la serie converge totalmente.
c) Stabilire se la somma delle serie è una funzione continua in $I$ oppure in quale sottointervallo è continua.
Svolgimento (della mia professoressa):
a) $f_n$$(x)$$=$$e^(-n^2x)$
$\lim_{n \to \infty}f_n$ $={(1,if x=0),(+infty,if x<0), (0,if x>0):}$
La serie non converge per $x<0$. Se $x>0$ $=>$ $\lim_{n \to \infty}root(n)(e^(-n^2x))$ $=$ $0$.
Qui finisce il primo punto, ma non comprendo come abbia determinato l'insieme $I$ dei punti in cui la serie converge puntualmente...
b) $AA$ $n$$in$$NN$ $e^(-n^2x)$ $=$ $1/e^(n^2x)$ in $(0,+infty)$. $f_n$ decrescente $=>$ $Sup_{x in (0,+infty)}$ $f_n(x)$ $=1$. Dunque $\sum_{n=0}^\infty\Sup_{x in (0,+infty)} f_n(x)$ $=$ $\sum_{n=0}^\infty\1$ $=$ $+infty$. La serie non converge totalmente in $(0,+infty)$. Sia $a>0$, considero $(a,+infty)$ $=$ $Ia$, allora $\sum_{n=0}^\infty\Sup_{x in (0,+infty)} f_n(x)$ $=$ $\sum_{n=0}^\infty\Sup_{x in (0,+infty)} e^(-n^2a)$ $<+infty$. Infatti sia $a_n$ $=$ $e^(-n^2x)$ allora $\lim_{n \to \infty}root(n)(e^(-n^2a))$ $=$ $\lim_{n \to \infty}e^(-na)$ $=0$ $<1$. La serie converge totalmente e quindi puntualmente in $[a,+infty)$ con $a>0$.
In questo passaggio non ho capito nulla di cosa abbia voluto fare...
c) In ogni intervallo del tipo $[a,+infty)$ con $a>0$, la somma della serie è continua. Deduco dunque che è continua in ogni con $(0,+infty)$ perché preso con $x in (0,+infty)$, $EE$ $0
Questo è l'esercizio svolto dalla mia professoressa... Qualcuno potrebbe aiutarmi a comprenderlo meglio oppure farmi vedere un modo più chiaro per come poterlo svolgere?
Si consideri la serie di funzioni $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\e^(-n^2x)$
a) Determinare l'insieme $I$ dei punti in cui converge puntualmente.
b) Stabilire se la seria converge totalmente in $I$ oppure, in caso contrario, stabilire in quali intervalli contenuti in $I$ la serie converge totalmente.
c) Stabilire se la somma delle serie è una funzione continua in $I$ oppure in quale sottointervallo è continua.
Svolgimento (della mia professoressa):
a) $f_n$$(x)$$=$$e^(-n^2x)$
$\lim_{n \to \infty}f_n$ $={(1,if x=0),(+infty,if x<0), (0,if x>0):}$
La serie non converge per $x<0$. Se $x>0$ $=>$ $\lim_{n \to \infty}root(n)(e^(-n^2x))$ $=$ $0$.
Qui finisce il primo punto, ma non comprendo come abbia determinato l'insieme $I$ dei punti in cui la serie converge puntualmente...
b) $AA$ $n$$in$$NN$ $e^(-n^2x)$ $=$ $1/e^(n^2x)$ in $(0,+infty)$. $f_n$ decrescente $=>$ $Sup_{x in (0,+infty)}$ $f_n(x)$ $=1$. Dunque $\sum_{n=0}^\infty\Sup_{x in (0,+infty)} f_n(x)$ $=$ $\sum_{n=0}^\infty\1$ $=$ $+infty$. La serie non converge totalmente in $(0,+infty)$. Sia $a>0$, considero $(a,+infty)$ $=$ $Ia$, allora $\sum_{n=0}^\infty\Sup_{x in (0,+infty)} f_n(x)$ $=$ $\sum_{n=0}^\infty\Sup_{x in (0,+infty)} e^(-n^2a)$ $<+infty$. Infatti sia $a_n$ $=$ $e^(-n^2x)$ allora $\lim_{n \to \infty}root(n)(e^(-n^2a))$ $=$ $\lim_{n \to \infty}e^(-na)$ $=0$ $<1$. La serie converge totalmente e quindi puntualmente in $[a,+infty)$ con $a>0$.
In questo passaggio non ho capito nulla di cosa abbia voluto fare...
c) In ogni intervallo del tipo $[a,+infty)$ con $a>0$, la somma della serie è continua. Deduco dunque che è continua in ogni con $(0,+infty)$ perché preso con $x in (0,+infty)$, $EE$ $0
Questo è l'esercizio svolto dalla mia professoressa... Qualcuno potrebbe aiutarmi a comprenderlo meglio oppure farmi vedere un modo più chiaro per come poterlo svolgere?
Risposte
"Lord Rubik":
Qui finisce il primo punto, ma non comprendo come abbia determinato l'insieme $I$ dei punti in cui la serie converge puntualmente...
a) La serie non può convergere puntualmente per $x <= 0$ perché, per tali valori della variabile, il termine generale della serie non è infinitesimo (che è una condizione necessaria perché la serie converga). Allora resta da analizzare il caso $x > 0$ (usa il criterio della radice per dimostrare la convergenza puntuale in $\{ x > 0 \}$ ).
Ah ok! 
Ho capito il punto a). Semplice! Grazie 1000!
Ho capito il punto a). Semplice! Grazie 1000!
Ho capito cosa dice nel punto b). Purtroppo non mi è chiaro una cosa nel punto c). Allora, ho capito la parte in cui dice che ogni intervallo del tipo $[a,+infty)$ con $a>0$, la somma della serie è continua. Deduco che è continua in ogni $(0,+infty)$, perchè preso $x in (0,+infty)$, $EE$ $0
Beh, è una conseguenza della teoria, no?
Ovvio, certamente è come dici te. Ma c'è un modo per calcolare la somma della serie? (è quest'ultima cosa che non so fare...)
Non ti viene chiesto di calcolarla. Quasi sempre è una faticaccia terribile calcolare la somma di una certa serie che non sia una serie geometrica o telescopica! Insomma, problemi che vanno ben oltre l'esame di Analisi che stai preparando.
Ok! Allora se è questo il tutto va bene così!!!! 
Allora se è questo il tutto va bene così!!!!
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