Serie di funzioni, convergenza
Ciao a tutti!
Sto svolgendo un esercizio di Analisi 2 sulle serie e non capisco un passaggio.
Vi carico il testo con la risoluzione.
Non capisco il punto b) quando dice che per $ a<=1 $ la convergenza non è uniforme su $ E_a $ .
Ho calcolato il limite del sup di $ f_n $ e mi risulta $ lim_(n->∞)1/n^a $ (perché il sup ce l'ho in $ x=0 $ quando $ x>0 $ ) , e quindi quel limite è 0 quando $ a > 0 $ , ma la risoluzione qui sotto dice tutt'altro.
Cosa sto sbagliando?
Grazie per i chiarimenti
Sto svolgendo un esercizio di Analisi 2 sulle serie e non capisco un passaggio.
Vi carico il testo con la risoluzione.
Non capisco il punto b) quando dice che per $ a<=1 $ la convergenza non è uniforme su $ E_a $ .
Ho calcolato il limite del sup di $ f_n $ e mi risulta $ lim_(n->∞)1/n^a $ (perché il sup ce l'ho in $ x=0 $ quando $ x>0 $ ) , e quindi quel limite è 0 quando $ a > 0 $ , ma la risoluzione qui sotto dice tutt'altro.
Cosa sto sbagliando?
Grazie per i chiarimenti
Risposte
E' da un po' che non faccio questi esercizi, ma credo che ti vogliano dire che $\sum 1/n^a$ converge se $a>1$.
Quindi non converge per $a \le 1$. Giusto ?
Cos'e' che non ti torna, il $[R, infty)$ ?
Quindi non converge per $a \le 1$. Giusto ?
Cos'e' che non ti torna, il $[R, infty)$ ?
Ho il dubbio sull'inizio della parte b).
Perché quello che dici tu è vero con $ x=0 $ ma se $ x>0 $ dal punto a) so che per ogni $ a $ la serie converge. Allora perchè nel punto b) all'inizio dice che per $ a<=1 $ la convergenza non è uniforme...?
Perché quello che dici tu è vero con $ x=0 $ ma se $ x>0 $ dal punto a) so che per ogni $ a $ la serie converge. Allora perchè nel punto b) all'inizio dice che per $ a<=1 $ la convergenza non è uniforme...?
"alessioben":
(perché il sup ce l'ho in $ x=0 $ quando $ x>0 $ )
Il punto e' che questo \( \sup \) e' uninformative, perche' stai maggiorando con qualcosa che diverge, voglio dire: nel caso \( a \le 1 \) hai che \( \sup_{x > 0} e^{-nx}/n^a = 1/ n^a\), quindi non puoi concludere che la serie sia uniformemente convergente in \( (0,+\infty)\) (almeno non per Weierstrass). La convergenza si limita ad essere puntuale in \( (0,+\infty)\). Ora non so quale sia il teorema del doppio limite (scambio del limite?), ma penso sia abbastanza possibile fare vedere che la serie non converge uniformemente in \( (0,+\infty)\) semplicemente negando la definizione. Prendi un \( \epsilon > 0 \) ed un \( \bar{n}\) e fai vedere che esiste un \( x \in (0,+\infty)\) tale che \[ \left| \sum_{k= \bar{n} +1}^\infty \frac{e^{-k x}}{k^a + x^2} \right| \ge \epsilon. \] Usa il fatto che la serie armonica diverge per \( a \le 1\).
Btw, e' Monti?
Ahh ho capito grazie mille!
E' che valutavo la convergenza uniforme della serie come se fosse quella puntuale senza considerare Weierstrass, ho capito l'errore.
Monti intendi il prof? No..
E' che valutavo la convergenza uniforme della serie come se fosse quella puntuale senza considerare Weierstrass, ho capito l'errore.
Monti intendi il prof? No..
"alessioben":
Monti intendi il prof? No..
Si', mi sembrava la sua scrittura
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