Serie di funzioni convergenti, ma non uniformemente.
Ciao a tutti! Sono alle prese con un esercizio che mi sta dando qualche problema: bisogna dimostrare che le serie di funzioni sono convergenti ma non uniformemente in un certo intervallo. Una delle serie è questa:
$ 1+ sum_(n = 1 )^(oo)[ (2x-1)(2x)^n ] $ per $ x in [ 0 ; 1/ 2 ] $ .
Visto che una serie di funzioni è uniformemente convergente se lo è la successione delle somme parziali, un modo per dire che una serie converge non uniformemente è che la successione delle somme parziali non converga uniformemente (spero di averlo detto nel modo corretto); quindi ,
detto $ Dn= max { |f(x) - Sn(x)| , x in [ 0 ; 1/ 2 ] } $ ,devo vedere che si abbia $ lim_(n -> oo ) Dn != 0 $ .
Le somme parziali sono: $ Sn = 1-2x+(2x)^(n+1) $ .
$ lim_(n ->oo )Sn { ( per |x|>1/2, f(x)=oo ),( per |x|<1/2, f(x)=1-2x ),( per x=1/2, f(x)=1),( per x=-1/2, 2pm 1 ):} $
Vedo che la serie è convergente nell'intervallo che devo studiare che è $x in [ 0 ; 1/ 2 ]$ . Proseguo nel ragionamento e trovo
$f(x) - Sn(x) { ( per |x|<1/2, f(x) - Sn(x) = -(2x)^(n+1) ),(per x=1/2, f(x) - Sn(x) =1/2 +2x -(2x)^(n+1) ):} $.
Ho chiamato $Dn$ il sup tra $ { |f(x) - Sn(x)| , x in [ 0 ; 1/ 2 ] } $ che risulta essere $1/2 +2x -(2x)^(n+1)$.
Facendo il limite (con $x=1/2$) vedo che $ lim_(n->oo) Dn = 1/2 !=0 $ e il fatto che sia diverso da zero mi dice che la successione delle somme parziali non è uniformemente convergente e quindi non lo è nemmeno la seria da cui deriva...
è giusto?
$ 1+ sum_(n = 1 )^(oo)[ (2x-1)(2x)^n ] $ per $ x in [ 0 ; 1/ 2 ] $ .
Visto che una serie di funzioni è uniformemente convergente se lo è la successione delle somme parziali, un modo per dire che una serie converge non uniformemente è che la successione delle somme parziali non converga uniformemente (spero di averlo detto nel modo corretto); quindi ,
detto $ Dn= max { |f(x) - Sn(x)| , x in [ 0 ; 1/ 2 ] } $ ,devo vedere che si abbia $ lim_(n -> oo ) Dn != 0 $ .
Le somme parziali sono: $ Sn = 1-2x+(2x)^(n+1) $ .
$ lim_(n ->oo )Sn { ( per |x|>1/2, f(x)=oo ),( per |x|<1/2, f(x)=1-2x ),( per x=1/2, f(x)=1),( per x=-1/2, 2pm 1 ):} $
Vedo che la serie è convergente nell'intervallo che devo studiare che è $x in [ 0 ; 1/ 2 ]$ . Proseguo nel ragionamento e trovo
$f(x) - Sn(x) { ( per |x|<1/2, f(x) - Sn(x) = -(2x)^(n+1) ),(per x=1/2, f(x) - Sn(x) =1/2 +2x -(2x)^(n+1) ):} $.
Ho chiamato $Dn$ il sup tra $ { |f(x) - Sn(x)| , x in [ 0 ; 1/ 2 ] } $ che risulta essere $1/2 +2x -(2x)^(n+1)$.
Facendo il limite (con $x=1/2$) vedo che $ lim_(n->oo) Dn = 1/2 !=0 $ e il fatto che sia diverso da zero mi dice che la successione delle somme parziali non è uniformemente convergente e quindi non lo è nemmeno la seria da cui deriva...
è giusto?
Risposte
Un attimo solo... Come hai calcolato le somme parziali? Fai vedere un po'...
Mi sembra che tu abbia fatto un po' di confusione. Dovrebbe essere:
$1+sum_(n=1)^(oo)[(2x-1)(2x)^n]=oo$ per $x<=-1/2$
$1+sum_(n=1)^(oo)[(2x-1)(2x)^n]=1-2x$ per $-1/2
$1+sum_(n=1)^(oo)[(2x-1)(2x)^n]=1$ per $x=1/2$
$1+sum_(n=1)^(oo)[(2x-1)(2x)^n]=oo$ per $x>1/2$
Credo che tu possa completare l'esercizio più velocemente ragionando per assurdo.
@dissonance
Non avevo notato che eri già intervenuto. In ogni modo, colgo l'occasione per salutarti.
$1+sum_(n=1)^(oo)[(2x-1)(2x)^n]=oo$ per $x<=-1/2$
$1+sum_(n=1)^(oo)[(2x-1)(2x)^n]=1-2x$ per $-1/2
$1+sum_(n=1)^(oo)[(2x-1)(2x)^n]=1$ per $x=1/2$
$1+sum_(n=1)^(oo)[(2x-1)(2x)^n]=oo$ per $x>1/2$
Credo che tu possa completare l'esercizio più velocemente ragionando per assurdo.
@dissonance
Non avevo notato che eri già intervenuto. In ogni modo, colgo l'occasione per salutarti.
Ciao ragazzi, grazie per avere risposto!
@ dissonance :
Per calcolare le somme parziali ho fatto come per le serie numeriche:
$ 1+sum_(n = 1 )^(oo ) (2x-1)(2x)^n = 1+sum_(n = 1 )^(oo )[(2x)^(n+1)-(2x)^n] $
da qua si vede che è una serie telescopica; esplicitando le somme si vede che ciò che rimane è $1-2x+(2x)^(n+1)$
È corretto fare così?
@ speculor :
Le casistiche che abbiamo fatto sono quasi uguali; l'unica cosa che non mi torna è che tu abbia fatto il limite del termine generale della serie e non delle somme parziali!
Potresti indicarmi una via?
Grazie mille ragazzi!
@ dissonance :
Per calcolare le somme parziali ho fatto come per le serie numeriche:
$ 1+sum_(n = 1 )^(oo ) (2x-1)(2x)^n = 1+sum_(n = 1 )^(oo )[(2x)^(n+1)-(2x)^n] $
da qua si vede che è una serie telescopica; esplicitando le somme si vede che ciò che rimane è $1-2x+(2x)^(n+1)$
È corretto fare così?
@ speculor :
Le casistiche che abbiamo fatto sono quasi uguali; l'unica cosa che non mi torna è che tu abbia fatto il limite del termine generale della serie e non delle somme parziali!
"speculor":
Credo che tu possa completare l'esercizio più velocemente ragionando per assurdo.
Potresti indicarmi una via?
Grazie mille ragazzi!
Potendo portare fuori dal simbolo di sommatoria il fattore $(2x-1)$, risulta essere una serie geometrica di ragione $2x$. Esiste un teorema che afferma la continuità della somma se la serie converge uniformemente in un determinato intervallo.
Mi prendo un po' di tempo per pensare in modo da non scrivere sciocchezze! 
Dimmi se ti pare corretto:
le $S_n(x)$ sono funzioni continue $AA x in [0;1/2]$ perché sono dei polinomi.
il $ lim_(n -> oo ) S_n(x) $ non è una funzione continua ( in $x =1/2$ c'è una discontinuità).
Allora, se ci fosse la convergenza uniforme, dovrei avere che entrambe le $S_n(x) e f(x)$ dovrebbero essere continue.
Sarebbe sufficiente questo per concludere l'esercizio?
le $S_n(x)$ sono funzioni continue $AA x in [0;1/2]$ perché sono dei polinomi.
il $ lim_(n -> oo ) S_n(x) $ non è una funzione continua ( in $x =1/2$ c'è una discontinuità).
Allora, se ci fosse la convergenza uniforme, dovrei avere che entrambe le $S_n(x) e f(x)$ dovrebbero essere continue.
Sarebbe sufficiente questo per concludere l'esercizio?
Io avrei ragionato così. Direi che è sufficiente.
Grazie speculor!
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