Serie di funzioni convergente

[mistake89]

Considerata la serie $sum f_n(x)$ con $f_n(x)={( (nx)^n/(n!),if x>0),(sqrt((nx)^n+1)-n^2,if x<=0):}$

Determinare per quali $x in RR$ converge.

Se $x<=0$ è semplice. Per $x >0$ non sono riuscito a trovare una soluzione. Ho provato a scrivere tutto come $e^(nlognx)$ e sfruttare un po' le proprietà dei logaritmi ma non sono riuscito a venirne a capo.
Idee?

[Paolo902]

Ciao mistake

Direi che per [tex]x>0[/tex] è una normalissima serie di potenze centrata nell'origine. Se applichi uno dei noti criteri per trovare il raggio di convergenza dovresti trovare che [tex]$\rho=1$[/tex].

D'altra parte, si vede abbastanza facilmente che per [tex]$x=1$[/tex] non c'è speranza che converga; infatti, la serie [tex]\sum \frac{n^n}{n!}[/tex] non può convergere perché è violata la condizione necessaria.

Dunque io direi che quella serie converge per [tex]$x \in [0,1)$[/tex].
Che dici?

[Giuly191]

Sei sicuro che sia $1$ il raggio di convergenza? A me torna $1/e$.
$lim_(n->+oo) (n^n /(n!))^(1/n) = lim_(n->+oo) n/(n!)^(1/n) = lim_(n->+oo) n/(sqrt(2pi n)e^(-n)n^n)^(1/n)=lim_(n->+oo) n/((e^(-1)n)(sqrt(2pi n))^(1/n))= e$
Ho usato l'approssimazione di Stirling per il fattoriale.

[mistake89]

Che le serie di potenze non le ho ancora studiate quindi dovrei andarmele a vedere Però è un esercizio posto nel capitolo "Serie di funzioni".
WolframAlpha comunque dice che per $x=1/2$ non converge in quanto quel limite continua a tendere comunque a $+infty$.

Quindi mi sa che dobbiamo rivedere qualcosa!

[mistake89]

"Giuly19":Sei sicuro che sia $1$ il raggio di convergenza? A me torna $1/e$.

Che è la soluzione esatta. Come hai risolto tu?

[Paolo902]

Confermo, certo, il raggio è [tex]\frac{1}{e}[/tex]. Mi ero bevuto un esponente, scusatemi

[mistake89]

Grazie mille a tutti e due