Serie di funzioni (conv uniforme)
Salve a tutti, devo studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^x}$ in $E=[0, \+infty)$.
Per $x = 0$ ho sia convergenza puntuale che uniforme.
Per $x \geq 2$ ho convergenza puntuale. Per la convergenza uniforme ragiono così. Voglio studiare la convergenza totale quindi considero il $$ sup_{x \geq 2} |\frac{x}{n^x}| = sup _{x \geq 2} \frac{x}{n^x}$$ , poi osservo che $$ \frac{x}{n^x} \leq \frac{2}{n^2}$$ da cui, $$ sup_{x \geq 2}\frac{x}{n^x} \leq sup_{x \geq 2} \frac{2}{n^2} = \frac{2}{n^2}$$ che essendo il termine generale di una serie numerica convergente mi dà la convergenza uniforme che cercavo.
e' corretto il ragionamento per la convergenza uniforme o devo per forza calcolare il $sup|f_n(x)-f(x)| e vedere se è infinitesimo per n all'infinito?
grazie
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^x}$ in $E=[0, \+infty)$.
Per $x = 0$ ho sia convergenza puntuale che uniforme.
Per $x \geq 2$ ho convergenza puntuale. Per la convergenza uniforme ragiono così. Voglio studiare la convergenza totale quindi considero il $$ sup_{x \geq 2} |\frac{x}{n^x}| = sup _{x \geq 2} \frac{x}{n^x}$$ , poi osservo che $$ \frac{x}{n^x} \leq \frac{2}{n^2}$$ da cui, $$ sup_{x \geq 2}\frac{x}{n^x} \leq sup_{x \geq 2} \frac{2}{n^2} = \frac{2}{n^2}$$ che essendo il termine generale di una serie numerica convergente mi dà la convergenza uniforme che cercavo.
e' corretto il ragionamento per la convergenza uniforme o devo per forza calcolare il $sup|f_n(x)-f(x)| e vedere se è infinitesimo per n all'infinito?
grazie
Risposte
"irelimax":
devo studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^x}$ in $E=[0, \+infty)$.
Per $x = 0$ ho sia convergenza puntuale che uniforme.
Quest'affermazione non ha molto contenuto informativo... Ogni successione di funzioni è convergente uniformemente in un punto isolato.
Quando si chiede di studiare la convergenza uniforme, di solito si intende di studare la convergenza uniforme in tutto l'insieme di convergenza o in parti "sufficientemente grandi" di esso.
"irelimax":
Per $x \geq 2$ ho convergenza puntuale.
Ma ti mancano ancora dei pezzi... Cosa succede, ad esempio, per \(x=3/2\)?
"gugo82":hai ragione, convergenza puntuale per $ x>1$.
Ma ti mancano ancora dei pezzi... Cosa succede, ad esempio, per x=3/2?
Allora per la totale, calcolo la derivata prima e trovo un massimo in $x = \frac{1}{logn}$ che però è minore di 1, mentre il nostro insieme di convergenza è per $x>1$. Poichè dopo $x = \frac{1}{logn}$ la funzione $f_n(x) = \frac{x}{n^x}$ decresce, il massimo sarà assunto "un po più a destra di 1", quindi per $x=1+\epsilon$. Il $$ sup_{x>1}|f_n(x)| = f_n(1+\epsilon) $$ che è il termine generale di una serie numerica convergente.
Adesso dovremmo esserci, no?
L'insieme di convergenza (puntuale) della serie è, chiaramente, \(X:=\{0\} \cup ]1,\infty[\).
Dato che \(f_n(x)\geq 0\) e che \(f_n(0)=0\), per ogni indice \(n\) si ha:
\[
M_n:= \sup_X |f_n| = \sup_{x\in ]1,\infty[} f_n(x) =\sup_{x\in ]1,\infty[} \frac{x}{n^x}
\]
e perciò si possono applicare le usuali tecniche di Calcolo Differenziale per determinare \(M_n\); dato che \( f_n(x)=\frac{x}{n^x}\) è una funzione derivabile in \(]1,\infty[\) e che:
\[
f_n^\prime (x) = \frac{1}{n^x}\ \left( 1-x\ \ln n\right)\; ,
\]
per \(n\)"grande" la \(f_n\) è decrescente in \(]1,\infty[\) e ciò importa:
\[
M_n = f_n(1) = \frac{1}{n}\; ;
\]
dato che la serie numerica:
\[
\sum M_n = \sum \frac{1}{n}
\]
è divergente, la serie assegnata non converge totalmente in tutto \(X\).
D'altra parte, la serie converge totalmente in ogni sottoinsieme di \(X\) del tipo:
\[
X_\varepsilon := \{0\}\cup [1+\varepsilon ,\infty[\; .
\]
Infatti, stante l'analisi svolta sopra, si ha:
\[
M_n(\varepsilon) := \sup_{X_\varepsilon} |f_n| = f_n(1+\varepsilon) = \frac{1+\varepsilon}{n^{1+\varepsilon}}
\]
e la serie numerica:
\[
\sum M_n(\varepsilon) = \sum \frac{1+\varepsilon}{n^{1+\varepsilon}}
\]
è convergente, poiché multipla di una serie armonica generalizzata convergente.
Conseguentemente, la serie assegnata converge totalmente in ogni sottoinsieme non vuoto \(S\subset X\) tale che \(X\setminus S\) contenga un intorno destro di \(1\): infatti, se \(S\neq \varnothing\) è un insieme con tale proprietà, esiste un \(\varepsilon >0\) sufficientemente piccolo in guisa che \(S\subseteq X_\varepsilon\) e, dato che:
\[
\sup_S |f_n| \leq \sup_{X_\varepsilon} |f_n|\; ,
\]
la convergenza totale su \(X_\varepsilon\) implica quella su \(S\).
Capito come si ragiona?
Per la convergenza uniforme, la situazione è un po' più complessa.
Invero, dato che la convergenza totale implica l'uniforme, hai convergenza uniforme su ogni sottoinsieme non vuoto \(S\subset X\) tale che \(X\setminus S\) contenga un intorno destro di \(1\).
D'altra parte, dato che la serie non converge totalmente in tutto \(X\), nulla si può dire "a priori" sulla convergenza uniforme in \(X\).
Per chiarire cosa accade, chiamiamo \(s\) la somma della serie. Per le proprietà della convergenza uniforme di serie di funzioni continue, la \(s\) è una funzione continua in \(]1,\infty[\)[nota]Infatti, convergendo la serie totalmente in \([1+\varepsilon ,\infty[\) per ogni \(\varepsilon >0\), la \(s\) è continua in ogni intervallo \([1+\varepsilon ,\infty[\) e ciò assicura la continuità in tutto \(]1,\infty[\).[/nota]
Ora, se la convergenza fosse uniforme in \(X\), essa sarebbe a fortiori uniforme in \(]1,\infty[\); ciò implicherebbe la la liceità dello scambio dell'ordine dei limiti nella relazione:
\[
\lim_{x\to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n^x} = \sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to 1^+} \frac{x}{n^x}
\]
dalla quale segue:
\[
\lim_{x\to 1^+} s(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty\; .
\]
Ma ciò è assurdo, perché dalla stessa convergenza uniforme della serie seguirebbe la limitatezza di \(s\) in \(]1,\infty[\).
Ne viene che la convergenza della serie non può essere uniforme in tutto \(X\).
Dato che \(f_n(x)\geq 0\) e che \(f_n(0)=0\), per ogni indice \(n\) si ha:
\[
M_n:= \sup_X |f_n| = \sup_{x\in ]1,\infty[} f_n(x) =\sup_{x\in ]1,\infty[} \frac{x}{n^x}
\]
e perciò si possono applicare le usuali tecniche di Calcolo Differenziale per determinare \(M_n\); dato che \( f_n(x)=\frac{x}{n^x}\) è una funzione derivabile in \(]1,\infty[\) e che:
\[
f_n^\prime (x) = \frac{1}{n^x}\ \left( 1-x\ \ln n\right)\; ,
\]
per \(n\)"grande" la \(f_n\) è decrescente in \(]1,\infty[\) e ciò importa:
\[
M_n = f_n(1) = \frac{1}{n}\; ;
\]
dato che la serie numerica:
\[
\sum M_n = \sum \frac{1}{n}
\]
è divergente, la serie assegnata non converge totalmente in tutto \(X\).
D'altra parte, la serie converge totalmente in ogni sottoinsieme di \(X\) del tipo:
\[
X_\varepsilon := \{0\}\cup [1+\varepsilon ,\infty[\; .
\]
Infatti, stante l'analisi svolta sopra, si ha:
\[
M_n(\varepsilon) := \sup_{X_\varepsilon} |f_n| = f_n(1+\varepsilon) = \frac{1+\varepsilon}{n^{1+\varepsilon}}
\]
e la serie numerica:
\[
\sum M_n(\varepsilon) = \sum \frac{1+\varepsilon}{n^{1+\varepsilon}}
\]
è convergente, poiché multipla di una serie armonica generalizzata convergente.
Conseguentemente, la serie assegnata converge totalmente in ogni sottoinsieme non vuoto \(S\subset X\) tale che \(X\setminus S\) contenga un intorno destro di \(1\): infatti, se \(S\neq \varnothing\) è un insieme con tale proprietà, esiste un \(\varepsilon >0\) sufficientemente piccolo in guisa che \(S\subseteq X_\varepsilon\) e, dato che:
\[
\sup_S |f_n| \leq \sup_{X_\varepsilon} |f_n|\; ,
\]
la convergenza totale su \(X_\varepsilon\) implica quella su \(S\).
Capito come si ragiona?
Per la convergenza uniforme, la situazione è un po' più complessa.
Invero, dato che la convergenza totale implica l'uniforme, hai convergenza uniforme su ogni sottoinsieme non vuoto \(S\subset X\) tale che \(X\setminus S\) contenga un intorno destro di \(1\).
D'altra parte, dato che la serie non converge totalmente in tutto \(X\), nulla si può dire "a priori" sulla convergenza uniforme in \(X\).
Per chiarire cosa accade, chiamiamo \(s\) la somma della serie. Per le proprietà della convergenza uniforme di serie di funzioni continue, la \(s\) è una funzione continua in \(]1,\infty[\)[nota]Infatti, convergendo la serie totalmente in \([1+\varepsilon ,\infty[\) per ogni \(\varepsilon >0\), la \(s\) è continua in ogni intervallo \([1+\varepsilon ,\infty[\) e ciò assicura la continuità in tutto \(]1,\infty[\).[/nota]
Ora, se la convergenza fosse uniforme in \(X\), essa sarebbe a fortiori uniforme in \(]1,\infty[\); ciò implicherebbe la la liceità dello scambio dell'ordine dei limiti nella relazione:
\[
\lim_{x\to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n^x} = \sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to 1^+} \frac{x}{n^x}
\]
dalla quale segue:
\[
\lim_{x\to 1^+} s(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty\; .
\]
Ma ciò è assurdo, perché dalla stessa convergenza uniforme della serie seguirebbe la limitatezza di \(s\) in \(]1,\infty[\).
Ne viene che la convergenza della serie non può essere uniforme in tutto \(X\).
Grazie mille, cercherò di essere più precisa nei prossimi esercizi, intanto questo è un'ottima traccia!! Grazie! 
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