Serie di funzioni con parametri
Salve a tutti devo determinare l'insieme di convergenza della seguente serie di funzioni in base al valore dei due parametri:
$\sum_{n=0}^(+infty)[(n+1)^(\alpha)-(n-1)^(\alpha)]^(\beta)xe^(-nx)$
1) $(\alpha,\beta)=(3,1)$ (quindi io immagino che $\alpha=3$ e $\beta=1$ sbaglio?)
2) $\alpha>0$ e $\beta=1$
3) $\alpha=2$ e $\beta>0$
4) $\alpha>0$ e $\beta>0$
Allora io penso che questa è una serie di potenze però se cosi fosse, dato che devo andarmi ad applicare o il criterio del rapporto o quello della radice al termine che moltiplica quindi $xe^(-nx)$, non vedo cosa possono variare questi parametri quindi penso di sbagliarmi sicuramente. Vi prego ho bisogno del vostro aiuto che per questo esame di anaisi sto andando al manicomio
$\sum_{n=0}^(+infty)[(n+1)^(\alpha)-(n-1)^(\alpha)]^(\beta)xe^(-nx)$
1) $(\alpha,\beta)=(3,1)$ (quindi io immagino che $\alpha=3$ e $\beta=1$ sbaglio?)
2) $\alpha>0$ e $\beta=1$
3) $\alpha=2$ e $\beta>0$
4) $\alpha>0$ e $\beta>0$
Allora io penso che questa è una serie di potenze però se cosi fosse, dato che devo andarmi ad applicare o il criterio del rapporto o quello della radice al termine che moltiplica quindi $xe^(-nx)$, non vedo cosa possono variare questi parametri quindi penso di sbagliarmi sicuramente. Vi prego ho bisogno del vostro aiuto che per questo esame di anaisi sto andando al manicomio
Risposte
Magari è uno specchietto per le allodole, infatti io direi che indipendentemente dai parametri la serie converge per $x\ge 0$ e diverge per $x<0$ questo si vede subito per $x\ne 0$ col criterio del rapporto, mentre per $x=0$ basta sostituirlo nella serie e vedere che si ha che il termine generale è sempre nullo.
Tutte queste considerazioni quindi le faccio semplicemente studiando la x? Senza applicare nessun criterio o altro giusto ho capito bene?
No per $x=0$ verifichi che gli elementi della serie sono tutti nulli, mentre per $x\ne 0$ applichi il criterio del rapporto, grazie al quale dimostrerai che la serie converge se $x>0$ e diverge se $x<0$ indipendentemente dai valori dei due parametri.
Scusami se ti faccio una domanda banale probabilmente, ma sto provando a capire. Allora la forma generale della serie di potenze è $\sum_{n=0}^infty a_k(x-x_o)^k$ io so che per determinare il raggio di convergenza e quindi l'intervallo di convergenza devo andare ad applicare o il criterio del rapporto o quello della radice al termine $a_k$ e in base al limite mi faccio le considerazioni sul raggio. Ora sulla serie di potenze che devo fare io hai detto che per $x=0$ la serie ha tutti i termini che sono 0 per mi sorge un dubbio, probabilmente sarà sbagliata la mia idea, per n che tende ad infinito imponendo $x=0$ non mi trovo una forma indeterminata $infty*0$? Poi mi hai detto che nel caso in cui $x!=0$ devo applicare il criterio del rapporto questo criterio lo devo applicare a $xe^(-nx)$?
Ma no, non c'è nessuna serie di potenze! Hai una serie di funzioni!
hai $a_nxe^{-nx}$ questa non è una serie di potenze. Al massimo puoi maggiorarla per $x>0$ come $a_nxe^{-nx}
Io sto dicendo semplicemente se sostituisci $x=0$ ottieni
$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot 0\cdot e^{-n\cdot 0}=\sum_{n=0}^{\infty}0=0
$$
Quindi in $x=0$ converge e fa zero.
Per $x\ne 0$ invece applichi il criterio del rapporto all'argomento della serie non solo al termine $a_n$!!
Cioè
$$
\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}xe^{-(n+1)x}}{a_{n}xe^{-nx}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}xe^{-nx}e^{-x}}{a_{n}xe^{-nx}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}e^{-x}=\lim_{n\to \infty}\frac{((n+2)^\alpha-(n)^\alpha)^\beta}{((n+1)^\alpha-(n-1)^\alpha)^\beta}e^{-x}
$$
Adesso notando che $$(1+\frac{1}{n})^\alpha \sim 1+\frac{\alpha}{n}$$ ottieni che
$$
\lim_{n\to \infty}\frac{((n+2)^\alpha-(n)^\alpha)^\beta}{((n+1)^\alpha-(n-1)^\alpha)^\beta}e^{-x}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\alpha\beta}((1+\frac 2 n)^\alpha-(1)^\alpha)^\beta}{n^{\alpha\beta}((1+\frac 1 n)^\alpha-(1-\frac 1 n)^\alpha)^\beta}e^{-x}=\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{2\alpha}{n}-1)^\beta}{(1+\frac \alpha n-(1-\frac \alpha n))^\beta}e^{-x}=e^{-x}
$$
Ora $00$ , mentre $e^{-x}>1$ se e solo se $x<0$. Fine.
hai $a_nxe^{-nx}$ questa non è una serie di potenze. Al massimo puoi maggiorarla per $x>0$ come $a_nxe^{-nx}
Io sto dicendo semplicemente se sostituisci $x=0$ ottieni
$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot 0\cdot e^{-n\cdot 0}=\sum_{n=0}^{\infty}0=0
$$
Quindi in $x=0$ converge e fa zero.
Per $x\ne 0$ invece applichi il criterio del rapporto all'argomento della serie non solo al termine $a_n$!!
Cioè
$$
\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}xe^{-(n+1)x}}{a_{n}xe^{-nx}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}xe^{-nx}e^{-x}}{a_{n}xe^{-nx}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}e^{-x}=\lim_{n\to \infty}\frac{((n+2)^\alpha-(n)^\alpha)^\beta}{((n+1)^\alpha-(n-1)^\alpha)^\beta}e^{-x}
$$
Adesso notando che $$(1+\frac{1}{n})^\alpha \sim 1+\frac{\alpha}{n}$$ ottieni che
$$
\lim_{n\to \infty}\frac{((n+2)^\alpha-(n)^\alpha)^\beta}{((n+1)^\alpha-(n-1)^\alpha)^\beta}e^{-x}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\alpha\beta}((1+\frac 2 n)^\alpha-(1)^\alpha)^\beta}{n^{\alpha\beta}((1+\frac 1 n)^\alpha-(1-\frac 1 n)^\alpha)^\beta}e^{-x}=\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{2\alpha}{n}-1)^\beta}{(1+\frac \alpha n-(1-\frac \alpha n))^\beta}e^{-x}=e^{-x}
$$
Ora $0
Ah adesso ho capito, pensavo che dovevo trattarla come una serie di potenze perché noi solo quelle abbiamo fatto quindi immaginavo che la prof ci avesse messo una serie di potenze. Grazie mille per la spiegazione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo