Serie di funzioni con arcotangente
Ciao a tutti 
devo risolvere la seguente serie, indicando convergenza puntuale e uniforme:
$ sum_(n =1 \ldots+oo ) [arctan (x^n/n)]^sqrt(n) nx^sqrt(n) $ .
ho cercato di risolvere la convergenza puntuale, ma ho fatto un pasticcio
io ho cercato di trovare una serie che va asintoticamente come la mia, che dovrebbe essere $ nx^sqrt(n) (x^n/n)^sqrt(n) $ , che diventa poi $ (x^(n+1))^sqrt(n) / n^(sqrt(n) -1) $. A questo punto ho applicato il criterio della radice, quindi ho $ x^((n+1) /sqrt(n) ) / (n^((sqrt(n)-1)/n)) $ . Sotto per $ nrarr oo $ ho 1. Sopra va come $ x^n $ quindi converge per |x|<1.
Sono sicura di aver detto delle stupidaggini, ma con le serie non sono molto brava e poi quando c'è l'arcotangente di mezzo vado in crisi! Qualcuno può aiutarmi?
grazie in anticipo 
!!
devo risolvere la seguente serie, indicando convergenza puntuale e uniforme:$ sum_(n =1 \ldots+oo ) [arctan (x^n/n)]^sqrt(n) nx^sqrt(n) $ .
ho cercato di risolvere la convergenza puntuale, ma ho fatto un pasticcio
io ho cercato di trovare una serie che va asintoticamente come la mia, che dovrebbe essere $ nx^sqrt(n) (x^n/n)^sqrt(n) $ , che diventa poi $ (x^(n+1))^sqrt(n) / n^(sqrt(n) -1) $. A questo punto ho applicato il criterio della radice, quindi ho $ x^((n+1) /sqrt(n) ) / (n^((sqrt(n)-1)/n)) $ . Sotto per $ nrarr oo $ ho 1. Sopra va come $ x^n $ quindi converge per |x|<1.
Sono sicura di aver detto delle stupidaggini, ma con le serie non sono molto brava e poi quando c'è l'arcotangente di mezzo vado in crisi! Qualcuno può aiutarmi?
grazie in anticipo !!
Risposte
C'è qualche appassionato di serie che può darmi un aiutino? 
Ciao. Io comincerei con delle considerazioni sull'argomento dell'arcotangente:
$arctan(x^n/n)rarrx^n/n iff 01$
$arctan(x^n/n)rarrx^n/n iff 0
Okay, quindi poi vado a fare il limite per $ nrarr oo $ di $ (arctan(x^n/n))^(sqrt(n) ) nx^(sqrt(n) ) $ , se 01 $ lim =oo $ . Quindi per il criterio necessario di convergenza la mia serie è possibile che converga soltanto nell'intervallo (0,1), giusto?
Perché escludi $0$ e $1$? La serie converge ad entrambi.
Ah è vero, in effetti facendo il limite per $ nrarr oo $ torna zero sia con x=0 sia con x=1. Quindi a questo punto io so che potrebbe convergere in [0,1]. Per vedere se effettivamente converge (quindi sarebbe la convergenza puntuale della mia serie) devo applicare qualche criterio di convergenza.. va bene se applico la radice come avevo fatto all'inizio? E soprattutto va bene che io consideri l'arcotangente asintoticamente uguale al suo argomento?
Sì, direi che radice e rapporto in questo caso sono i criteri da usare. Puoi assimilare l'arcotangente all'argomento, sì, perché quest'ultimo è infinitesimo poste le opportune restrizioni su $x$.
"Bunnyy":quindi in pratica posso rifare questa cosa qua che avevo fatto all'inizio, solo che adesso so che x lo devo prendere compreso tra 0 e 1, invece all'inizio avevo subito applicato il criterio della radice e poi cercato i valori di x per cui era verificata la convergenza. Quindi adesso faccio il limite per n che va a infinito di $ x^((n+1) /sqrt(n) ) / (n^((sqrt(n)-1)/n)) $ , considerando x compreso tra 0 e 1, e mi viene che il limite è 0. 0 è minore di 1, quindi per il criterio della radice converge, e perciò la mia serie converge puntualmente in x €[0,1]. Così va bene ? dimmi di si
$ nx^sqrt(n) (x^n/n)^sqrt(n) $ , che diventa poi $ (x^(n+1))^sqrt(n) / n^(sqrt(n) -1) $. A questo punto ho applicato il criterio della radice, quindi ho $ x^((n+1) /sqrt(n) ) / (n^((sqrt(n)-1)/n)) $
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