Serie di funzioni a termini di segno alternato
Per studiare la convergenza puntuale di questa serie $sum_n (-1)^n x/(x+e^(-nx))$ posso applicare il criterio di Leibniz?
Risposte
La serie può essere scritta come $\sum_n (-1)^n a_n$ dove $a_n=\frac{x}{x+e^{-nx}}$. Per applicare il criterio di Liebniz, devono essere soddisfatte le seguenti ipotesi:
1) $a_n \geq 0$
2) $a_n$ decrescente
3) $\lim_{n\to\infty}a_n=0$
Nel tuo caso tutto dipende anche dal range in cui varia $x$, cioè $a_n$ in realtà è un $a_n(x)$. Quindi se esiste un intervallo in cui $x$ ti permette di verificare tali ipotesi allora sei a posto e poi applicare Leibniz, altrimenti dovrai trovare un'altra strada.
Proviamo e vediamo cosa esce:
1) $a_n(x)>=0$ significa verificare quando $\frac{x}{x+e^{-nx}}$; il denominatore è sempre positivo, il numeratore è positivo per $x>=0$, quindi $a_n(x)>=0$ se e solo se $x>0$; da questo deduci che, se sarà possibile, il criterio di Leibniz sarà applicabile solo per $x$ non negative;
2) Ora bisogna verificare se $a_n(x)$ è decrescente (rispetto ad $n$) per ogni $x$; dalla condizione 1) in realtà è sufficiente per $x>=0$; quindi bisogna verificare quando $a_n(x) > a_{n+1}(x)$; questo si traduce in
\[
\frac{x}{x+e^{-nx}} > \frac{x}{x+e^{-(n+1)x}} \\
x+e^{-nx} < x+e^{-(n+1)x} \\
e^{-nx} < e^{-(n+1)x} \\
-nx < -(n+1)x
\]
dato che $x>=0$, hai che $n>n+1$. Questo è assurdo; quindi non esiste un intervallo in cui le tue $x$ ti permettono di verificare le ipotesi di Liebniz, che quindi non può essere applicato.
Spero di non aver fatto errori!
1) $a_n \geq 0$
2) $a_n$ decrescente
3) $\lim_{n\to\infty}a_n=0$
Nel tuo caso tutto dipende anche dal range in cui varia $x$, cioè $a_n$ in realtà è un $a_n(x)$. Quindi se esiste un intervallo in cui $x$ ti permette di verificare tali ipotesi allora sei a posto e poi applicare Leibniz, altrimenti dovrai trovare un'altra strada.
Proviamo e vediamo cosa esce:
1) $a_n(x)>=0$ significa verificare quando $\frac{x}{x+e^{-nx}}$; il denominatore è sempre positivo, il numeratore è positivo per $x>=0$, quindi $a_n(x)>=0$ se e solo se $x>0$; da questo deduci che, se sarà possibile, il criterio di Leibniz sarà applicabile solo per $x$ non negative;
2) Ora bisogna verificare se $a_n(x)$ è decrescente (rispetto ad $n$) per ogni $x$; dalla condizione 1) in realtà è sufficiente per $x>=0$; quindi bisogna verificare quando $a_n(x) > a_{n+1}(x)$; questo si traduce in
\[
\frac{x}{x+e^{-nx}} > \frac{x}{x+e^{-(n+1)x}} \\
x+e^{-nx} < x+e^{-(n+1)x} \\
e^{-nx} < e^{-(n+1)x} \\
-nx < -(n+1)x
\]
dato che $x>=0$, hai che $n>n+1$. Questo è assurdo; quindi non esiste un intervallo in cui le tue $x$ ti permettono di verificare le ipotesi di Liebniz, che quindi non può essere applicato.
Spero di non aver fatto errori!
se la serie la scrivessi come $x sum_n (-1)^n 1/(x+e^(-nx))$ e applicassi Leibniz a $sum_n (-1)^n 1/(x+e^(-nx))$?
Ti direi di no perchè in ogni caso non è verificata la 3).
la 3) non è verificata se prendo $x<0$?
Ops, si.
quindi ho convergenza in $(-oo,0]$?
per la convergenza uniforme faccio una stima dell'errore?
per la convergenza uniforme faccio una stima dell'errore?
@Lory: quando studi Leibniz se $a_n <= 0$ va bene lo stesso, l'importante é che non salti di segno definitivamente.
@DajeForte: si hai ragione, perchè se anche lo fosse basterebbe portare fuori un meno.
@gbspeedy: scusa per gli errori ma sono un pò arrugginito. Si, hai convergenza su $(-oo, 0]$. Per quella uniforme puoi anche provare a verificare se hai convergenza totale che implica la uniforme.
@gbspeedy: scusa per gli errori ma sono un pò arrugginito. Si, hai convergenza su $(-oo, 0]$. Per quella uniforme puoi anche provare a verificare se hai convergenza totale che implica la uniforme.
per la convergenza uniforme ho calcolato $\Sup_((-oo,0]) |x/(x+e^(-nx))|=1/(n*e-1)$ termine generale serie divergente e quindi non ho converg.unif. in $(-oo,0]$.Quindi che intervalli dovrei considerare?
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