Serie di funzioni

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nospda

26 set 2012, 10:46

Salve, vorrei risolvere l'esercizio sulla serie di funzioni del mio ultimo test di analisi 1 ma purtroppo con le serie non sto messo benissimo. Mi potete dare una mano? magari scrivendo anche qualche consiglio sugli argomenti da andare a vedere per risolvere questo genere di serie. La serie è questa:
$ \sum \limits_{n=1}^\infty e^{\frac{n^2x}{n+x^2}} ; x\in\mathbb{R} $
Il testo chiede di studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale.
Grazie

Risposte

Hadronen

26 set 2012, 10:46

Bhe intanto si può cominciare valutando la condizione necessaria alla convergenza...

nospda

26 set 2012, 12:12

Ok. per la condizione necessaria il termine della serie deve tendere a 0. Quindi $ \frac{n^2x}{n+x^2} $ deve essere minore di 0. Giusto?

Hadronen

26 set 2012, 15:40

Sì, il termine deve tendere a zero...

Tieni presente che, essendo una serie di funzioni, la condizione necessaria è anch'essa dipendente da $x$ fissata con $n \to oo$ ...

Se $(n^2x)/(n+x^2) < 0$ non concludi nulla... Non ha molto senso, invero. Trova una condizione su $x$.

gugo82

26 set 2012, 15:43

@Hadronen: Invece avrebbe molto senso... Se solo si portasse il discorso fino in fondo.
Insomma, rimane da stabilire per quali $x$ la quantità $n^2\ \frac{x}{n+x^2}$ è minore di zero; ciò si può vedere anche senza fare conti.

nospda

26 set 2012, 15:57

Intuitivamente direi che il termine risulta minore di zero per $ x<0 $ perchè il denominatore è sempre positivo $ \forall n,x $ dato che $n \rightarrow +\infty $ e $ x $ è un quadrato e quindi il segno del termine dipende solo dal numeratore che è negativo $\forall x<0$.

gugo82

26 set 2012, 16:06

Esatto.

Inoltre, puoi subito dire che la serie converge puntualmente in $]-\infty, 0[$... Perchè?

nospda

26 set 2012, 16:23

Quello che so (dalla teoria) è che la serie converge puntualmente alla funzione $f : J \rightarrow \mathbb{R} $ se la successione $f_{h} $ converge puntualmente ad $f$ in $J \subset I $.
Dalla teoria sulle successioni, la successione $f_{h} $ converge puntualmente in $J \subset I $ alla funzione $f : J \rightarrow \mathbb{R} $ se si ha $\lim_{x\rightarrow \infty} f_{h}(x)=f(x) \forall x \in \mathbb{R} $.
Il problema è che non riesco ad applicare queste definizioni negli esercizi :-/

gugo82

26 set 2012, 17:17

Che vuol dire che $\sum f_n(x)$ converge puntualmente in un insieme $X$?
Beh, vuol dire che, per ogni fissato valore $x\in X$, la serie numerica $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ converge.

Quindi, per andare a vedere dove la tua serie converge puntualmente, la $x$ la devi trattare come un "parametro", immaginando che sia fissata.

Nel tuo caso, la serie $\sum \exp (\frac{n^2 x}{n+x})$ soddisfa la condizione necessaria solo se $x<0$; quindi è chiaro che l'insieme $X$ di convergenza puntuale della tua serie sarà necessariamente contenuto nell'intervallo $]-\infty ,0[$.

Immaginando di fissare $x \in ]-\infty ,0[$, puoi dire che la successione degli addendi della serie numerica $\sum_{n=0}^\infty \exp (\frac{n^2 x}{n+x})$ è infinitesima per $n\to \infty$ e che è infinitesima d'ordine infinitamente elevato (poiché la successione è asintoticamente equivalente a $e^{nx}$, che tende a zero con la velocità di un esponenziale); quindi la serie numerica $\sum_{n=0}^\infty \exp (\frac{n^2 x}{n+x})$ è convergente per confronto asintotico.
Dato che $x$ era stato arbitrariamente fissato in $]-\infty ,0[$, puoi dire che la tua serie di funzioni converge in ogni punto di $]-\infty ,0[$, ossia che $X=]-\infty ,0[$.
Tutto chiaro?

Detto ciò e stabilito che la serie converge in $X=]-\infty ,0[$, come pensi di andare avanti?
Quali criteri conosci per stabilire la convergenza totale?

nospda

26 set 2012, 17:50

Ciò che non mi è chiaro è come sfruttiamo la condizione necessaria. Mi spiego meglio: dove è soddisfatta la condizione necessaria sappiamo che la serie potrebbe convergere, ma non ne siamo sicuri perchè la condizione non è sufficiente (correggimi se sbaglio). Il fatto che asintoticamente la serie va come $e^{nx}$ ed il fatto che per $n \rightarrow \infty $ tende a 0 è chiaro però non capisco come posso concludere che $\forall x \in \mathbb{R} $ la serie converge puntualmente.
Per la convergenza totale il primo criterio che mi viene in mente è quello di Weierstraß che dice che se esiste una successione numerica $M_{k} > 0 \forall k \in \mathbb{N}$ convergente tale che \(|f_{k}|

gugo82

26 set 2012, 18:02

"nospda":
Ciò che non mi è chiaro è come sfruttiamo la condizione necessaria. Mi spiego meglio: dove è soddisfatta la condizione necessaria sappiamo che la serie potrebbe convergere, ma non ne siamo sicuri perchè la condizione non è sufficiente (correggimi se sbaglio). Il fatto che asintoticamente la serie va come $e^{nx}$ ed il fatto che per $n \rightarrow \infty $ tende a 0 è chiaro però non capisco come posso concludere che $\forall x \in \mathbb{R} $ la serie converge puntualmente.

Ma infatti la serie non converge in tutto $\mathbb{R}$.
Prego, rileggi con attenzione.

La CN serve per cominciare a "scremare", ossia a levare di mezzo i valori di $x$ in cui la serie certamente non converge.
Fatto ciò, l'approssimazione asintotica ti dice che per tutti i valori che soddisfano la CN hai pure convergenza puntuale.

"nospda":
Per la convergenza totale il primo criterio che mi viene in mente è quello di Weierstraß che dice che se esiste una successione numerica $M_{k} > 0 \forall k \in \mathbb{N}$ convergente tale che $|f_{k}|
Non proprio, in verità... Il criterio prevede che la serie \(\sum_{n=0}^\infty M_n$ converga, non che la successione $(M_n)$ converga; è una bella differenza!
Leggi con più attenzione il tuo testo di Analisi.

Chiarito ciò, torniamo a noi.
Evidentemente, in particolare, nel criterio puoi prendere $M_n= \sup_{x\in ]-\infty ,0[}|f_n(x)|$.
Quindi, tutto ciò che devi fare è calcolare $M_n$, ossia l'estremo superiore di ogni funzione $|f_n|$ in $]-\infty ,0[$, e controllare se per caso la serie $\sum_{n=0}^\infty M_n$ converge.

Nota bene, che ora devi considerare fissato l'indice $n$ e devi considerare come variabile la $x\in ]-\infty ,0[$.

nospda

26 set 2012, 18:46

Scusami, ho sbagliato a scrivere, volevo dire

"nospda":
non capisco come posso concludere che $\forall x \in ]-\infty,0] $ la serie converge puntualmente.

Ricapitolando dalla serie iniziale vediamo dove si verifica la condizione necessaria, nel nostro caso si verifica $\forall x \in ]-\infty,0] $, dopo notiamo che asintoticamente la funzione per $n \rightarrow +\infty$ si comporta come $e^{nx}$. A questo punto anche per $e^{nx}$ è ovviamente verificata la condizione necessaria $\forall x \in ]-\infty,0] $ ma posso essere sicuro che questa serie converge in questo intervallo?
(mi devi scusare se sto dicendo cose che sembrano scontate ma devo ancora prendere un po' di dimestichezza)

Per la convergenza totale ho riletto il testo e (ovviamente) avevi ragione. È la serie che deve convergere e non la successione

. Però problemi a trovare $M_{k}$.

gugo82

26 set 2012, 19:01

"nospda":
Scusami, ho sbagliato a scrivere, volevo dire [quote="nospda"]non capisco come posso concludere che $\forall x \in ]-\infty,0] $ la serie converge puntualmente.

Ricapitolando dalla serie iniziale vediamo dove si verifica la condizione necessaria, nel nostro caso si verifica $\forall x \in ]-\infty,0] $, dopo notiamo che asintoticamente la funzione per $n \rightarrow +\infty$ si comporta come $e^{nx}$. A questo punto anche per $e^{nx}$ è ovviamente verificata la condizione necessaria $\forall x \in ]-\infty,0] $ ma posso essere sicuro che questa serie converge in questo intervallo?
(mi devi scusare se sto dicendo cose che sembrano scontate ma devo ancora prendere un po' di dimestichezza)[/quote]
In $x=0$ la CN non è affatto verificata.
Ti prego fa' più attenzione.

Per quanto riguarda le serie numeriche, ricordi cosa dice il criterio del confronto asintotico?
Altrimenti vallo a ripetere.

"nospda":
Per la convergenza totale ho riletto il testo e (ovviamente) avevi ragione. È la serie che deve convergere e non la successione . Però problemi a trovare $M_{k}$.

Si tratta di determinare, per ogni fissato $n$, l'estremo superiore di $|\exp (n^2 \frac{x}{n+x})|=\exp (n^2 \frac{x}{n+x})$ per $x\in ]-\infty ,0[$.
Come si fà?
Beh, innanzitutto comincia a studiare la funzione $\exp (n^2 \frac{x}{n+x})$ limitatamente a $]-\infty ,0[$.

nospda

26 set 2012, 20:25

Scusami per le disattenzioni in fase di scrittura. Per la convergenza totale sono bloccato ma sto cercando di ragionare. Della funzione dovrei studiare la derivata?

gugo82

26 set 2012, 20:58

Come detto:

"gugo82":
innanzitutto comincia a studiare la funzione $\exp (n^2 \frac{x}{n+x})$ limitatamente a $]-\infty ,0[$.

Ricordi cosa significa "studiare la funzione", vero?

nospda

26 set 2012, 21:31

So che sto facendo la figura dell'impedito ma credo di sapere come si faccia lo studio di funzione. Il problema è che non riesco a trovare la successione $M_{k}$. Generalmente quando studio una funzione trovo i limiti nei punti di discontinuità del dominio, in questo caso credo di doverli calcolare in $-\infty$ ed in $0^{-}$ dove valgono entrambi $1$. Poi per trovare gli estremi relativi studio il segno della derivata che mi da gli intervalli di crescenza e di decrescenza e quindi dove la derivata si annulla la funzione ha gli estremi relativi. Poi ci sono anche altre considerazioni che si possono fare come asintoti o convessità (con la derivata seconda) che non credo che servano in questo caso.
Se sono proprio fuori strada risolverò questo esercizio quando sarò più preparato, non ci posso fare nulla

gugo82

26 set 2012, 23:00

No, non sei fuori strada... Solo che non stai focalizzando cosa devi fare, né sulle come applicare le cose che hai studiato nella teoria (soprattutto di Analisi I).

Quello che vuoi è: trovare il $\sup_{x\in ]-\infty ,0[} f_n(x)$.

Innanzitutto, noti che la tua $f_n$ è continua in $]-\infty, 0[$, e che essa ha limiti finiti agli estremi di tale insieme; perciò l'estremo superiore in questione è necessariamente finito.

A questo punto, dato che $f_n$ è derivabilissima in $]-\infty, 0[$, puoi determinare i massimi relativi di $f_n$ interni a $]-\infty, 0[$ con gli strumenti del Calcolo Differenziale (N.B.: i massimi relativi di $f_n$ significa i valori presi da $f_n$ nei punti di massimo relativo); poi ti ricordi che vale:
\[
M_n:=\sup_{x\in ]-\infty, 0[} f_n(x) = \sup \left\{ \lim_{x\to -\infty} f_n(x),\ \lim_{x\to 0^-} f_n(x),\ \text{tutti i massimi relativi di } f_n \text{ interni a } ]-\infty ,0[\right\}
\]
(questa uguaglianza si dimostra con un po' di conti).

Nel tuo caso, per fissato $n$, hai:
\[
f_n(x)=\exp\left( n^2 \frac{x}{n+x^2}\right)\; ,
\]
sicché:
\[
\lim_{x\to -\infty} f_n(x)=1=\lim_{x\to 0^-} f_n(x)\; ;
\]
d'altra parte è:
\[
f_n^\prime (x) = n^2\ f_n(x)\ \frac{n-x^2}{(n+x^2)^2}
\]
ed $f_n^\prime (x)\geq 0$ in $]-\infty ,0[$ solo se $-\sqrt{n}\leq x<0$, sicché la funzione $f_n$ è decrescente in $]-\infty ,-\sqrt{n}]$ e crescente in $[-\sqrt{n},0[$ e non ha massimi relativi interni a $]-\infty ,0[$.
Pertanto hai:
\[
M_n = \sup_{x\in ]-\infty ,0[}f_n(x) =1\; .
\]
Questa cosa si capisce subito se si disegna un diagramma del grafico di $f_n$...
[asvg]xmin=-25; xmax=0; ymin=0; ymax=1;
axes();
stroke="lightgrey"; line([-26,1],[0,1]);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("exp(4*x/(2+x^2))",-26,0);[/asvg]
Per questo ti avevo consigliato di studiare la funzione!

Dato che la serie $\sum M_n =\sum 1$ diverge, la serie assegnata non converge totalmente in $]-\infty,0[$.

***

Se guardi bene il grafico precedente, ti accorgi che la mancanza di convergenza totale è dovuta al fatto che $f_n(x)$ si avvicina troppo ad $M_n=1$ quando $x$ si avvicina a $0$ o quando scappa verso $-\infty$.

Quindi ti può venire in mente la seguente domanda:

Cosa succede se impedisco a $x$ di avvicinarsi a $0$ o di scappare verso $-\infty$?
Non è che per caso ci guadagno convergenza totale?

Questa è un'ottima questione.

Innanzitutto, cerchiamo di definire che vuol dire "impedisco a $x$ di avvicinarsi a $0$ o di scappare verso $-\infty$".
Beh, se vuoi che la tua variabile non si avvicini a zero né sfugga all'infinito, tanto vale imporre che essa sia costretta ad assumere valori in un intervallo $[a,b]$ con $avivere in un compatto \([a,b]$ distante da $0$.

Fatta tale scelta, per studiare se c'è convergenza totale in $[a,b]$ devi andare a determinare la quantità:
\[
M_n(a,b):= \sup_{x\in [a,b]} |f_n(x)|
\]
e vedere se, per caso, la serie $\sum M_n(a,b)$ converge.
Nota che, essendo $f_n$ continua e positiva in $]-\infty ,0[$, essa è a maggior ragione continua e positiva in $[a,b]$ compatto: perciò, per il teorema di Weierstrass, hai:
\[
M_n(a,b)=\max_{x\in [a,b]} f_n(x)
\]
ove il secondo membro è il massimo assoluto di $f_n$ in $[a,b]$.
Per determinare $M_n(a,b)$ basta ricordarsi che il massimo assoluto o è preso in un punto di massimo relativo interno a $[a,b]$ oppure è preso negli estremi dell'intervallo:
\[
M_n(a,b) = \sup \left\{ f_n(a),\ f_n(b),\ \text{tutti i massimi relativi di } f_n \text{ interni ad } [a,b]\right\}\; .
\]
A questo punto, però, ti fai furbo ed usi quello che hai già fatto più sopra.

Hai già visto che la funzione $f_n$ è decrescente in $]-\infty, -\sqrt{n}]$ e crescente in $[-\sqrt{n},0[$; ma allora, prendendo $n$ sufficientemente grande (ed in particolare $ >a^2$), il punto di minimo $-\sqrt{n}$ di $f_n$ comparirà sempre più a sinistra dell'intervallo $[a,b]$ e perciò l'intervallo cui stai restringendo le tue considerazioni cadrà tutto nell'insieme in cui $f_n$ è crescente, i.e. $[a,b]\subset [-\sqrt{n},0[$ per $n>a^2$.

Ciò implica che, per $n$ sufficientemente grande, la $f_n$ non ha massimi relativi interni a $[a,b]$ e che, per la crescenza, $f(a) \[
M_n(a,b) = f_n(b) = \exp \left( \frac{n^2b}{n+b^2}\right) \qquad \text{per } n >a^2\; .
\]
Allora, per stabilire se la tua serie di funzioni \(\sum f_n(x)$ converge totalmente in $[a,b]$ devi andarti a studiare la convergenza della serie numerica:
\[
\sum_{n>a^2} M_n(a,b) = \sum_{n>a^2} \exp \left(\frac{n^2 b}{n+b^2}\right)\; .
\]
Ma si vede subito (applicando il criterio della radice, ad esempio) che la serie a secondo membro converge!

Inoltre, visto che l'intervallo compatto $[a,b]$ era fissato arbitrariamente tra quelli contenuti in $]-\infty ,0[$, puoi ben dire che la tua serie converge totalmente su ogni intervallo compatto contenuto in $]-\infty ,0[$.
E la convergenza sui compatti, essendo totale, è pure assoluta ed uniforme.

Ciò, in particolare, implica che la somma della serie (che non sai esprimere elementarmente, ma che esiste), è una funzione continua in $]-\infty ,0[$.
Infatti, comunque fissi un punto $x_0\in ]-\infty ,0[$, puoi sempre determinare un intorno compatto $[x_0-\delta, x_0+\delta]\subset ]-\infty ,0[$; dato che la tua serie converge uniformemente nel compatto $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ e che gli addendi sono tutti continui in tale insieme, la somma delle serie continua in tutto $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ ed, a fortiori, in $x_0$.
Dato che $ x_0$ era fissato in maniera del tutto arbitraria, puoi ben dire che la somma della tua serie è continua in tutti i punti di $]-\infty ,0[$.

***

Ricapitolando:

La serie converge puntualmente in $X=]-\infty ,0[$, ma non vi converge totalmente. Tuttavia, la serie converge totalmente, e dunque assolutamente ed uniformemente, in ogni intervallo compatto $[a,b]\subset X$; ciò importa che la somma della serie è una funzione continua in $X$.

nospda

27 set 2012, 08:31

Adesso non può che essere chiaro quello che hai scritto. Il mio errore era questo: cercavo l'intervallo in cui la serie converge totalmente non preoccupandomi se effettivamente la serie convergesse totalmente nell'intervallo $]-\infty,0[$. Ora credo che sia molto più chiaro il procedimento.
Praticamente il processo generico da seguire è questo:

Hadronen

27 set 2012, 12:31

Esercizi ce ne sono su qualunque eserciziario di analisi. Gugo magari può consigliarti meglio qualcosa di specifico.

Te ne elenco alcuni, secondo il mio modesto parere, abbastanza formativi ed estranei a certi approcci più algoritmici:

• $\sum_(n=1)^oo n^alpha \chi_n$ con $\chi_n $ funzione caratteristica dell'intervallo $[2n,2n+1]$ , $alpha \in RR$.

• $\sum_(n=1)^oo n^alpha \chi_n$ con $\chi_n $ funzione caratteristica dell'intervallo $[n,n+1/n]$ , $alpha \in RR$.

• $\sum_(n=1)^oo 1/n \chi_n$ con $\chi_n $ funzione caratteristica dell'intervallo $[1/n-1/n^2, 1/n+1/n^2]$.

Ovviamente, conv. puntuale, uniforme e totale... magari pure in $L^p$.

... Sono casi particolari quindi vedi tu quando ti senti pronto a risolverli.

gugo82

27 set 2012, 13:28

Beh, di eserciziari di Analisi II ce ne sono un botto e sono tutti più o meno equivalenti.

Specificamente per le serie di funzioni, ricordo un vecchio volumetto della TECNOS, Serie di Funzioni di Panzarsa & Tribulato... Potresti provare a vedere se lo trovi in biblioteca o in qualche libreria universitaria (mi pare che quei volumetti siano stati ristampati recentemente, quindi dovresti reperirlo).

nospda

27 set 2012, 16:54

Grazie ancora. Il problema è che questi argomenti li ho fatti in analisi I ed appunto non trovavo gli esercizi sui miei eserciziari

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