Serie di funzioni
ciao a tutti...mi sono ritrovato a dovere utilizzare il teorema del confronto pero non riesco a capire come trovare una serie maggiorante; mi spiego meglio: se ho una qualsiasi serie di funzione, come faccio a trovare una serie maggiorante della serie data?
Risposte
dipende dalla serie, non c'è un metodo unico.
Per esempio, se tu hai $\sum_{k=1}^{+\infty} frac{sin(k)}{k^2}$ ... in questo caso il numeratore non sarà mai superiore a 1.
Una serie maggiorante della serie data può essere, ad esempio $\sum_{k=1}^{+\infty} frac{1}{k^2}$ ... e quindi otterrai che
$\sum_{k=1}^{+\infty} frac{sin(k)}{k^2} \leq \sum_{k=1}^{+\infty} frac{1}{k^2}$.. quindi per il teorema del confronto, poiché la serie maggiorante converge (in quanto serie armonica generalizzata con $\alpha > 1$ ) anche la serie data converge.
Per esempio, se tu hai $\sum_{k=1}^{+\infty} frac{sin(k)}{k^2}$ ... in questo caso il numeratore non sarà mai superiore a 1.
Una serie maggiorante della serie data può essere, ad esempio $\sum_{k=1}^{+\infty} frac{1}{k^2}$ ... e quindi otterrai che
$\sum_{k=1}^{+\infty} frac{sin(k)}{k^2} \leq \sum_{k=1}^{+\infty} frac{1}{k^2}$.. quindi per il teorema del confronto, poiché la serie maggiorante converge (in quanto serie armonica generalizzata con $\alpha > 1$ ) anche la serie data converge.
Ma se ho come argomento del seno "xk" quando scrivo la serie maggiorante la x mi rimane? In parole povere.. Affinche una serie sia maggiorante dell'altra la serie maggiore deve assumere valori maggiori a parita di k e allo stasso tempo assumere tutti i valori della serie data?( naturalmente per diversi valori di k)
No, per qualunque funzione, l'importante è che per qualunque valore che dai alla x, la serie maggiorante sia maggiore o uguale della serie che hai tu.
Che tu abbia $sin(k)$ o $sin(kx)$ , il valore massimo che il seno può assumere è sempre 1. L'unica cosa che cambia, in questo caso, è il periodo, a seconda dei valori che dai a k, ma questo non è importante per lo studio della convergenza.
Che tu abbia $sin(k)$ o $sin(kx)$ , il valore massimo che il seno può assumere è sempre 1. L'unica cosa che cambia, in questo caso, è il periodo, a seconda dei valori che dai a k, ma questo non è importante per lo studio della convergenza.
Ho capito.... Ma quindi come faccio a determinare che una serie è maggiorante dell altra? Io posso scrivere $\sum_{n=1}^N n^2$ e dire che questa serie è maggiorante della serie che hai scritto tu!!! Ma questo è sbagliato e non ho capito perche!!!;)
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