Serie di funzioni
Potreste dirmi se ho risolto bene quest'esercizio? Non ne sono molto sicura!
Studiare la convergenza della serie di funzioni
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n/((nsen1/n)^n) (arctgx - pi/2 +1)^n$
Ho innanzitutto individuato le varie parti della serie e quindi:
$a_n= (-1)^n/((nsen1/n)^n)$
$y= arctgx$
$y_0= -pi/2+1$
-Ora studio la convergenza puntuale e quindi calcolo il raggio di convergenza $rho$
$rho = lim_(n->oo)root(n)(|a_n|)$ (criterio della radice) $= lim_(n->oo)root(n)(1^n/(nsen1/n)^n) = lim_(n->oo) 1/(nsen1/n) = 0$
Avrò quindi $rho=1/0=oo$, quindi l'intervallo di convergenza sarà $RR$ (visto che il dominio è $RR$)
La serie quindi converge puntualmente in $RR$ .
-Passo poi alla convergenza totale che si ha per ogni intervallo $[-delta;+delta] in RR$
$|arctgx-pi/2+1|<=delta$ e supponendo $x=pi/2$ , allora la convergenza totale è comunque in $RR$.
- Inutile studiare il comportamento della serie agli estremi in quanto sono $+-oo$
E' corretto? Grazie anticipatamente
Studiare la convergenza della serie di funzioni
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n/((nsen1/n)^n) (arctgx - pi/2 +1)^n$
Ho innanzitutto individuato le varie parti della serie e quindi:
$a_n= (-1)^n/((nsen1/n)^n)$
$y= arctgx$
$y_0= -pi/2+1$
-Ora studio la convergenza puntuale e quindi calcolo il raggio di convergenza $rho$
$rho = lim_(n->oo)root(n)(|a_n|)$ (criterio della radice) $= lim_(n->oo)root(n)(1^n/(nsen1/n)^n) = lim_(n->oo) 1/(nsen1/n) = 0$
Avrò quindi $rho=1/0=oo$, quindi l'intervallo di convergenza sarà $RR$ (visto che il dominio è $RR$)
La serie quindi converge puntualmente in $RR$ .
-Passo poi alla convergenza totale che si ha per ogni intervallo $[-delta;+delta] in RR$
$|arctgx-pi/2+1|<=delta$ e supponendo $x=pi/2$ , allora la convergenza totale è comunque in $RR$.
- Inutile studiare il comportamento della serie agli estremi in quanto sono $+-oo$
E' corretto? Grazie anticipatamente
Risposte
Ciao,
Mi sembra corretto.
Unico appunto: credo che il teorema del disco di convergenza di una serie di potenze ti assicura che la serie converge ASSOLUTAMENTE nel disco... e uniformemente nei compatti all'interno.
Mi sembra corretto.
Unico appunto: credo che il teorema del disco di convergenza di una serie di potenze ti assicura che la serie converge ASSOLUTAMENTE nel disco... e uniformemente nei compatti all'interno.
Mi puzza un po' quel limite pero'.... $ lim_(n->oo) 1/(nsen1/n) = 0$
Anzi... credo proprio che faccia 1. Basta utilizzare lo sviluppo di $sin(1/n)$ al primo ordine.
Anzi... credo proprio che faccia 1. Basta utilizzare lo sviluppo di $sin(1/n)$ al primo ordine.
Infatti a me sembra sia uguale a $1$ (con una sostituzione ed un limite notevole si vede facilmente).
Quindi l'intervallo di convergenza diventerebbe $[-pi/2;-pi/2+2]$?
Per quanto riguarda il limite, potreste dirmi come risolverlo?non mi è ancora chiaro...grazie comunque!
Per quanto riguarda il limite, potreste dirmi come risolverlo?non mi è ancora chiaro...grazie comunque!
Usando Teorema di Taylor: $ lim_(n->oo) 1/(nsen1/n) = lim_(n->oo) 1/(n(1/n)) = lim_(n->oo) 1 = 1 $
Usando piccola sostituzione e un famoso limite notevole ( $m=1/n$ ) $ lim_(m->0) m/(sen(m)) = 1 $
Usando piccola sostituzione e un famoso limite notevole ( $m=1/n$ ) $ lim_(m->0) m/(sen(m)) = 1 $
Ponendo $t=\frac{1}{n}$ ottieni
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n\sin \frac{1}{n}}=\lim_{t \to 0}\frac{1}{\frac{\sin t }{t}}=\frac{1}{\displaystyle{\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}}}=1
\]
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n\sin \frac{1}{n}}=\lim_{t \to 0}\frac{1}{\frac{\sin t }{t}}=\frac{1}{\displaystyle{\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}}}=1
\]
Grazie infinite a entrambi/e!
"innersmile":
Quindi l'intervallo di convergenza diventerebbe $[-pi/2;-pi/2+2]$?
No. $|arctan(x) - pi/2 + 1| < 1 => pi/2 - 2 < arctan(x) < pi/2 => x > -0.405.... $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo