Serie di funzioni
devo studiare la convergenze puntuale e uniforme della serie $ sum_(n=1)^(+oo) sin(x^n)/(x^n+n^x) $
ho pensato di studiare la convergenza totale quindi posso maggiorare con $1/(x^n+n^x)$?
ho pensato di studiare la convergenza totale quindi posso maggiorare con $1/(x^n+n^x)$?
Risposte
Per usare il test della convergenza totale, devi maggiorare il termine generale $AA n$ con una costante $M_n$ che non dipenda da $x$.
allora non so proprio da che parte prenderla
@gbspeedy: Prova a maggiorare più coscienziosamente i tuoi addendi.
E tieni presente che quello che stai applicando non è il criterio della convergenza totale.
E tieni presente che quello che stai applicando non è il criterio della convergenza totale.
se x=0 la serie è nulla
se 0
se x>1 $x^n$ è infinito di ordine superiore rispetto a $n^x$
$|f_n(x)|<=1/x^n$ termine generale di una serie convergente
quindi converge puntualmente in [0,1) U (1,$+oo$)
se 0
se x>1 $x^n$ è infinito di ordine superiore rispetto a $n^x$
$|f_n(x)|<=1/x^n$ termine generale di una serie convergente
quindi converge puntualmente in [0,1) U (1,$+oo$)
potete dirmi se è giusta la convergenza puntuale?
Se \(|x|<1\), i tuoi addendi sono invalore assoluto asintotici a \(\frac{|x|^n}{n^x}\), che formano una serie convergente (perché "imparentata" con la serie geometrica convergente \(\sum |x|^n\)); pertanto la tua serie converge assolutamente er \(|x|<1\).
Se \(x=\pm 1\), allora gli addendi sono del tipo \(\frac{\sin 1}{1 +n}\) o \(-\frac{\sin 1}{(-1)^n+\frac{1}{n}}\) e perciò la serie diverge in \(x=1\) e non converge in \(x=-1\)*.
Se \(|x|>1\), allora vale la maggiorazione:
\[
\left| \frac{\sin x^n}{x^n+n^x}\right| \leq \frac{1}{\Big| |x|^n - n^x\Big|}= \frac{1}{|x|^n}\ \frac{1}{\left| 1- \frac{n^x}{|x|^n}\right|} \leq \frac{C}{|x|^n}
\]
con \(C=C(x)>0\) costante opportuna; dunque la serie converge assolutamente per confronto con (un multiplo del)la serie geometrica convergente \(\sum (\frac{1}{|x|})^n\).
Conseguentemente, hai convergenza puntuale e pure assoluta in \(\mathbb{R}\setminus \{\pm 1\}\).
__________
* Credo che si possa stabilire in maniera abbastanza semplice che c'è divergenza in senso positivo pure per \(x=-1\)... Basterà minorare opportunamente la successione degli addendi. Prova.
Se \(x=\pm 1\), allora gli addendi sono del tipo \(\frac{\sin 1}{1 +n}\) o \(-\frac{\sin 1}{(-1)^n+\frac{1}{n}}\) e perciò la serie diverge in \(x=1\) e non converge in \(x=-1\)*.
Se \(|x|>1\), allora vale la maggiorazione:
\[
\left| \frac{\sin x^n}{x^n+n^x}\right| \leq \frac{1}{\Big| |x|^n - n^x\Big|}= \frac{1}{|x|^n}\ \frac{1}{\left| 1- \frac{n^x}{|x|^n}\right|} \leq \frac{C}{|x|^n}
\]
con \(C=C(x)>0\) costante opportuna; dunque la serie converge assolutamente per confronto con (un multiplo del)la serie geometrica convergente \(\sum (\frac{1}{|x|})^n\).
Conseguentemente, hai convergenza puntuale e pure assoluta in \(\mathbb{R}\setminus \{\pm 1\}\).
__________
* Credo che si possa stabilire in maniera abbastanza semplice che c'è divergenza in senso positivo pure per \(x=-1\)... Basterà minorare opportunamente la successione degli addendi. Prova.
per la convergenza uniforme posso dire $|f_n(x)|<=1/(x^n+n^x)$ e studiare i massimi di questa funzione?
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