Serie di funzioni

[mimm8]

ciao :hi incontro delle difficoltà nello studio di questa serie di funzione riconducibile a una serie di potenze.

[math]\sum_{n=3}^{\infty} \frac{e^{3nx-2n+4}}{n^2-3n+2}[/math]

in particolare dovrei determinare il raggio di convergenza, gli insiemi di convergenza puntuale ed uniforme e la somma della serie.
Un grazie in anticipo. :love

[davi02]

La serie di funzioni

[math] \sum\limits_{n=3}^{\infty}{\dfrac{e^{3nx-2n+4}}{n^2-3n+2}} \qquad (1) [/math]

è riconducibile alla serie di potenze

[math] \sum\limits_{n=3}^{\infty}{a_n y^n} \qquad (2) [/math]

mediante la sostituzione

[math] y = e^{3x-2}[/math]

dove

[math] a_n = \dfrac{e^4}{n^2-3n+2} = e^4\big( \dfrac{1}{n-2} - \dfrac{1}{n-1} \big) .[/math]

Studiamo la convergenza e la somma di (2).

Dato che

[math]a_n/a_{n+1} \to 1[/math]

, il raggio di convergenza di (2) è 1.

Per

[math]n \ge 3[/math]

,

[math]|y| \le 1[/math]

, si ha

[math]|a_n y^n| \le \frac{e^4}{(n-1)(n-2)} [/math]

, quindi la convergenza è totale in

[math][-1, 1][/math]

.

Dunque l’insieme di convergenza (uniforme) di (2) è l’intervallo

[math][-1, 1][/math]

; al di fuori di tale intervallo la (2) non converge.

Detta

[math]g(y)[/math]

la somma di (2) in

[math][-1, 1][/math]

, sfruttando il noto sviluppo di

[math]-\ln(1-t)[/math]

, per

[math]-1 \le y < 1[/math]

abbiamo

[math]g(y) = e^4 \big( y^2 \sum_{n=3}^{\infty}{y^{n-2}/(n-2)} - y \sum_{n=3}^{\infty}{y^{n-1}/(n-1)} \big) =[/math]

[math]= e^4 (y^2 \sum_{n=1}^{\infty}{y^n/n} - y \sum_{n=1}^{\infty}{y^n/n} + y^2) =[/math]

[math]= e^4 y ((1-y)\ln(1-y) + y).[/math]

Facendo il limite per

[math]y \to 1^{-}[/math]

, si trova

[math]g(1) = e^4[/math]

.


Studiamo ora la convergenza e la somma di (1).

Le soluzioni di

[math]-1 \le e^{3x-2} \le 1[/math]

sono

[math]x \le \frac{2}{3}[/math]

, quindi l’insieme di convergenza di (1) è l’intervallo

[math]]-\infty, \frac{2}{3}][/math]

; ivi la convergenza è totale, dato che per

[math]n \ge 3[/math]

,

[math]x \le \frac{2}{3}[/math]

, si ha

[math]0 < e^{3nx-2n+4}/(n^2-3n+2) \le e^4/((n-1)(n-2))[/math]

.

Dunque l’insieme di convergenza (uniforme) di (1) è l’intervallo

[math]]-\infty, \frac{2}{3}][/math]

, al di fuori del quale la (1) non converge (diverge a

[math]+\infty[/math]

); la somma, per

[math]x < \frac{2}{3}[/math]

, è

[math]f(x) = g(e^{3x-2}) = e^{3x+2} ((1 - e^{3x-2})\ln(1- e^{3x-2}) + e^{3x-2})[/math]

[math]f(\frac{2}{3}) = e^4[/math]

.


ciao