Serie di funzioni
Ho un problema nel determinare la convergenza di questa serie di funzioni:
$\sum_{n=1}^oo (((x+1)^n)/((n+1)2^n))$
Con il criterio del rapporto, determino il raggio di convergenza della serie $\sum_{n=1}^oo ((1)/((n+1)2^n))$ , che risulta essere pari a $2$. Sostituendo tale raggio alla $x$ in $(x+1)^n$ ottengo $x=-1$ ed $x=3$ . Ma seguitando a sostituire, per $x=-1$ il numeratore diventa pari a $0$ , così come, di conseguenza, la serie stessa. Come devo procedere in questi casi, visto che non posso studiare la convergenza della serie per $x=-1$ ?
$\sum_{n=1}^oo (((x+1)^n)/((n+1)2^n))$
Con il criterio del rapporto, determino il raggio di convergenza della serie $\sum_{n=1}^oo ((1)/((n+1)2^n))$ , che risulta essere pari a $2$. Sostituendo tale raggio alla $x$ in $(x+1)^n$ ottengo $x=-1$ ed $x=3$ . Ma seguitando a sostituire, per $x=-1$ il numeratore diventa pari a $0$ , così come, di conseguenza, la serie stessa. Come devo procedere in questi casi, visto che non posso studiare la convergenza della serie per $x=-1$ ?
Risposte
Se non sbaglio è una serie geometrica, la quale converge con $|(x+1)/2|<1$
Io avrei posto $((x+1)/2)=y$ e avrei studiato la serie $sum_(n=1)^(+oo)y^n/(n+1)$, che è una serie di potenze, il cui raggio di convergenza è facilmente calcolabile tramite noti criteri.
Per essere serie geometrica dovrebbe essere solo $sum_(n=1)^(+oo)y^n$
Per essere serie geometrica dovrebbe essere solo $sum_(n=1)^(+oo)y^n$
Ottima idea, grazie 
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