Serie di funzioni

[mistake89]

Si consideri la seguente serie di funzioni:
$sum_(n=1)^(infty) nx^(-n)$

Tale somma è definita per $x>0$ e risulta convergente, uniformemente in $(1,+infty)$.

Ora -ammesso che quanto detto sopra sia corretto- dovrei calcolare la somma, ma non riesco a venirne a capo.
Qualcuno mi dà qualche suggerimento? L'idea ovviamente è quella di usare i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale o di derivata, ma non riesco ad ottenere nulla di buono.

Grazie mile!

[Paolo902]

Non ho controllato tutti i conti. Però, tieni presente che $"d" / ("d"x) x^n=nx^{n-1}$.

[Gi81]

Se tu avessi $sum_(n=1)^(+oo)n*y^n$ con $y in (0,1)$ cosa potresti dire?

[Rigel1]

"mistake89":Si consideri la seguente serie di funzioni:
$sum_(n=1)^(infty) nx^(-n)$
Tale somma è definita per $x>0$ e risulta convergente, uniformemente in $(1,+infty)$.

Sul fatto che la convergenza sia uniforme in $(1,+\infty)$ mi permetto di sollevare qualche dubbio.
Magari intendevi dire che la convergenza è uniforme in $[a, +\infty)$ per ogni $a>1$?

[ciampax]

Per la convergenza, segui ciò che ti dice Rigel. per la somma, puoi scrivere la serie come

$\sum_{n=1}^\infty nx^{-n}=-x\sum_{n=1}^\infty -n x^{-n-1}$

e visto che $(x^{-n})'=-nx^{-n-1}$...

[mistake89]

Sì Rigel hai ragione, ho sbagliato!

Per la somma avete ragione, era semplice. Infatti $sum -x (-n)x^(-n-1) = sum x D(x^(-n))=-x D (sum (1/x)^n) = -x D(x/(x-1)) =x/(x-1)^2$.

Grazie mille per suggerimenti e correzioni