Serie di funzioni
L'esercizio su cui sono insicuro è:
Stabilire per quali $x>0$ converge la serie $sum_(n = 1)^(+oo)1/(nx^n)$.
Svolgimento:
Dato che l'esercizio mi richiede solo in quale caso c'è convergenza ho pensato di sfruttare la condizione $lim_(n->+oo)f_n(x)=0$
quindi $lim_(n->+oo)1/n(1/x)^n=0 <=> 0<1/x<1$, ho risolto questa condizione e, tenendo conto che la $x>0$ dai dati iniziali, ho notato che è vera per $x>1$; quindi posso concludere che la serie converge per $x>1$
Grazie!
Stabilire per quali $x>0$ converge la serie $sum_(n = 1)^(+oo)1/(nx^n)$.
Svolgimento:
Dato che l'esercizio mi richiede solo in quale caso c'è convergenza ho pensato di sfruttare la condizione $lim_(n->+oo)f_n(x)=0$
quindi $lim_(n->+oo)1/n(1/x)^n=0 <=> 0<1/x<1$, ho risolto questa condizione e, tenendo conto che la $x>0$ dai dati iniziali, ho notato che è vera per $x>1$; quindi posso concludere che la serie converge per $x>1$
Grazie!
Risposte
Non era più facile pensarla come serie di potenze ponendo $t=1/x$? In questo modo diventa una serie abbastanza nota. Il raggio di convergenza risulta 1, pertanto la serie converge per $|1/x|<1$ e quindi per $|x|>1$. Cosa puoi dire di $x=\pm 1$?
"Lorin":Questa affermazione non è corretta.
$lim_(n->+oo)1/n(1/x)^n=0 <=> 0<1/x<1$,
Infatti anche se $1/x=1$ si ha che quel limite tende a $0$
L'esercizio dovevo svolgerlo senza serie di potenze 
. Comunque se non ricordo male, nel caso in cui $x=1$ la serie divergeva a $+oo$, mentre se $x=-1$ era irregolare. Ciò che però non mi torna è il continuo dell'esercizio, che mi dice: Se la serie fosse stata $sum 1/(n^2x^n)$ per quali $x>0$ convergeva?
Non dovrebbe essere come prima il ragionamento? Quindi per $x>1$?!
EDIT: Ho capito dov'è l'errore nel mio ragionamento. Non so perchè ma non tenevo conto del fatto che $1^n=1$, quindi nel secondo caso, anche se $x=1$ avrei $sum 1/n^2$ che è la serie armonica convergente. Mentre nel primo caso non posso assumere $x=1$ perchè avrei $sum 1/n$ che è la serie armonica divergente.
. Comunque se non ricordo male, nel caso in cui $x=1$ la serie divergeva a $+oo$, mentre se $x=-1$ era irregolare. Ciò che però non mi torna è il continuo dell'esercizio, che mi dice: Se la serie fosse stata $sum 1/(n^2x^n)$ per quali $x>0$ convergeva?Non dovrebbe essere come prima il ragionamento? Quindi per $x>1$?!
EDIT: Ho capito dov'è l'errore nel mio ragionamento. Non so perchè ma non tenevo conto del fatto che $1^n=1$, quindi nel secondo caso, anche se $x=1$ avrei $sum 1/n^2$ che è la serie armonica convergente. Mentre nel primo caso non posso assumere $x=1$ perchè avrei $sum 1/n$ che è la serie armonica divergente.
"Lorin":Guarda il mio post e capirai
Ciò che però non mi torna è il continuo dell'esercizio, che mi dice: Se la serie fosse stata $sum 1/(n^2x^n)$ per quali $x>0$ convergeva?
Non dovrebbe essere come prima il ragionamento? Quindi per $x>1$?!
Ho editato sopra...
EDIT: Ho capito dov'è l'errore nel mio ragionamento. Non so perchè ma non tenevo conto del fatto che $1^n=1$, quindi nel secondo caso, anche se $x=1$ avrei $sum 1/n^2$ che è la serie armonica convergente. Mentre nel primo caso non posso assumere $x=1$ perchè avrei $sum 1/n$ che è la serie armonica divergente.
Sono alle prese con un altro esercizio di cui vorrei conferma del ragionamento:
Verificare che la serie $ sum_(n = 1)^(+oo)1/(n^4x^n) $ converge totalmente in [1,+oo)
Svolgimento:
Dovendo trovare una successione numerica convergente che maggiori quella del testo ho ragionato in questo modo:
$x>=1 => 1/x<=1 => 1/x^n<=1 => sum 1/(n^4x^n) <= sum 1/n^4$ che è la serie armonica convergente. Quindi la successione di partenza converge totalmente.
Va bene!?
Verificare che la serie $ sum_(n = 1)^(+oo)1/(n^4x^n) $ converge totalmente in [1,+oo)
Svolgimento:
Dovendo trovare una successione numerica convergente che maggiori quella del testo ho ragionato in questo modo:
$x>=1 => 1/x<=1 => 1/x^n<=1 => sum 1/(n^4x^n) <= sum 1/n^4$ che è la serie armonica convergente. Quindi la successione di partenza converge totalmente.
Va bene!?
Yes.
Altro esercizio:
Studiare il carattere della serie: $sum_(n=1)^(+oo)xe^(-nx) , x in [0,+oo)$.
Svolgimento:
La condizione necessaria è verificata, andiamo a vedere se la serie converge totalmente.
Da uno studio veloce ho trovato che $sum xe^(-nx) < 1/e sum (1/n)>+oo$, quindi non c'è convergenza totale. Andiamo a vedere se c'è quella uniforme e/o quella puntuale. Prima cosa che ho verificato è che la serie converge per $x=0$. Ora vorrei studiare la convergenza uniforme. Ho provato con il criterio della radice:
$lim_(n->+oo)root(n)(xe^(-nx))=e^-xroot(n)(x)<0$, in quanto $e^-x<0$ quindi la serie converge uniformemente in $[0,+oo)$
Grazie ancora di tutto!
Studiare il carattere della serie: $sum_(n=1)^(+oo)xe^(-nx) , x in [0,+oo)$.
Svolgimento:
La condizione necessaria è verificata, andiamo a vedere se la serie converge totalmente.
Da uno studio veloce ho trovato che $sum xe^(-nx) < 1/e sum (1/n)>+oo$, quindi non c'è convergenza totale. Andiamo a vedere se c'è quella uniforme e/o quella puntuale. Prima cosa che ho verificato è che la serie converge per $x=0$. Ora vorrei studiare la convergenza uniforme. Ho provato con il criterio della radice:
$lim_(n->+oo)root(n)(xe^(-nx))=e^-xroot(n)(x)<0$, in quanto $e^-x<0$ quindi la serie converge uniformemente in $[0,+oo)$
Grazie ancora di tutto!
Sì, funziona. In alternativa avresti potuto scriverla così
$x\cdot\sum_{n=1}^\infty (e^{-x})^n$
e osservare che è una serie geometrica, per cui avresti potuto concludere come sopra.
$x\cdot\sum_{n=1}^\infty (e^{-x})^n$
e osservare che è una serie geometrica, per cui avresti potuto concludere come sopra.
Ti ringrazio per la pazienza e i preziosi consigli che mi stai dando, sembra quasi di avere un aiuto in carne ed ossa.
Per quanto riguarda l'utilizzo della serie geometrica, per ora non la sto usando perchè questi esercizi sono presi dal capitolo delle serie generiche...domani inizierò con quelle di potenza e quelle geometriche. Grazie ancora!
Per quanto riguarda l'utilizzo della serie geometrica, per ora non la sto usando perchè questi esercizi sono presi dal capitolo delle serie generiche...domani inizierò con quelle di potenza e quelle geometriche. Grazie ancora!
Prego. L'importante è avere chiare tutte le possibili strade da poter percorrere.
Mi sono bloccato su questo...sarà l'ora...sarà che mi sfugge qualcosa:
$sum_(n=1)^(+oo)(x-1)^n/(n!) , x in RR$
PS: vorrei studiarla senza utilizzare la serie di potenze.
Quando vado a studiare la convergenza totale mi blocco, perchè se calcolo $f_n(x)=(x-1)^(n-1)/((n-1)!)>=0 <=> (x-1)^(n-1)>=0$
qui devo studiare qualche caso? oppure devo cambiare metodo!? tipo una maggiorazione?
$sum_(n=1)^(+oo)(x-1)^n/(n!) , x in RR$
PS: vorrei studiarla senza utilizzare la serie di potenze.
Quando vado a studiare la convergenza totale mi blocco, perchè se calcolo $f_n(x)=(x-1)^(n-1)/((n-1)!)>=0 <=> (x-1)^(n-1)>=0$
qui devo studiare qualche caso? oppure devo cambiare metodo!? tipo una maggiorazione?
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