Serie di funzioni
Ho un problema con questa serie di funzioni, $\z in CC$.
$\f(z)=sum_(n=0)^(+infty) ((a^n+1)/b^n)((z^2-1)/z^2)^n$
Mi viene chiesto di determinare una espressione di f in termini di funzioni elementari. Vi riporto le domande prima di questa richiesta per capire anche se il processo è corretto.
-Stabilire se è possibile trovare una serie di potenze $\g(z)=sum b_nz^n$ tale che $\f(z)=g((z^2-1)/z^2)$ ed in caso affermativo scriverne i coefficienti.
Impongo $\t=(z^2-1)/z^2$ e quindi $\g(t)=sum_(n=0)^(+infty) ((a^n+1)/b^n)t^n$
Ora questa è una serie di potenze e $\b_n=(a^n+1)/b^n$.
-Determinare il raggio di convergenza di g
Qui sinceramente ho dei dubbi, sicuramente direi $\|t|<1$ però non saprei cosa dire sui coefficienti davanti...
-Disegnare nel piano complesso l'insieme dove è definita f precisando il comportamento di f sulla frontiera di tale insieme
Qui, supponendo $\|t|<1$ ottengo $\|(z^2-1)/z^2|<1|$ e dopo vari calcoli giungo a $\2x^2-2y^2 >= 1$ dove x,y sono la parte reale e immaginaria di z.
-Determinare una espressione di f in termini di funzioni elementari ove possibile.
Qui brancolo nel buio..!
Grazie a chi mi vorrà aiutare!
$\f(z)=sum_(n=0)^(+infty) ((a^n+1)/b^n)((z^2-1)/z^2)^n$
Mi viene chiesto di determinare una espressione di f in termini di funzioni elementari. Vi riporto le domande prima di questa richiesta per capire anche se il processo è corretto.
-Stabilire se è possibile trovare una serie di potenze $\g(z)=sum b_nz^n$ tale che $\f(z)=g((z^2-1)/z^2)$ ed in caso affermativo scriverne i coefficienti.
Impongo $\t=(z^2-1)/z^2$ e quindi $\g(t)=sum_(n=0)^(+infty) ((a^n+1)/b^n)t^n$
Ora questa è una serie di potenze e $\b_n=(a^n+1)/b^n$.
-Determinare il raggio di convergenza di g
Qui sinceramente ho dei dubbi, sicuramente direi $\|t|<1$ però non saprei cosa dire sui coefficienti davanti...
-Disegnare nel piano complesso l'insieme dove è definita f precisando il comportamento di f sulla frontiera di tale insieme
Qui, supponendo $\|t|<1$ ottengo $\|(z^2-1)/z^2|<1|$ e dopo vari calcoli giungo a $\2x^2-2y^2 >= 1$ dove x,y sono la parte reale e immaginaria di z.
-Determinare una espressione di f in termini di funzioni elementari ove possibile.
Qui brancolo nel buio..!
Grazie a chi mi vorrà aiutare!
Risposte
"lawrencetb":
Ho un problema con questa serie di funzioni, $\z in CC$.
$\f(z)=sum_(n=0)^(+infty) ((a^n+1)/b^n)((z^2-1)/z^2)^n$
Mi viene chiesto di determinare una espressione di f in termini di funzioni elementari. Vi riporto le domande prima di questa richiesta per capire anche se il processo è corretto.
-Stabilire se è possibile trovare una serie di potenze $\g(z)=sum b_nz^n$ tale che $\f(z)=g((z^2-1)/z^2)$ ed in caso affermativo scriverne i coefficienti.
Impongo $\t=(z^2-1)/z^2$ e quindi $\g(t)=sum_(n=0)^(+infty) ((a^n+1)/b^n)t^n$
Ora questa è una serie di potenze e $\b_n=(a^n+1)/b^n$.
OK.
"lawrencetb":
-Determinare il raggio di convergenza di g
Qui sinceramente ho dei dubbi, sicuramente direi $\|t|<1$ però non saprei cosa dire sui coefficienti davanti...
Basta usare il criterio della radice e notare che, se [tex]$|a|> 1$[/tex], si ha:
[tex]$\sqrt[n]{\frac{|a^n+1|}{|b^n|}} =\frac{|a|}{|b|}\ \sqrt[n]{\left| 1+\frac{1}{a^n}\right|}$[/tex],
mentre se [tex]$|a|\leq 1$[/tex] la cosa è ancora più semplice.
"lawrencetb":
-Disegnare nel piano complesso l'insieme dove è definita f precisando il comportamento di f sulla frontiera di tale insieme
Qui, supponendo $\|t|<1$ ottengo $\|(z^2-1)/z^2|<1|$ e dopo vari calcoli giungo a $\2x^2-2y^2 >= 1$ dove x,y sono la parte reale e immaginaria di z.
Devi determinare il raggio di convergenza [tex]$r$[/tex] di [tex]$g(t)$[/tex] e poi ricordare che [tex]$t=\tfrac{z^2-1}{z^2}$[/tex]; conseguentemente dovrai rappresentare l'insieme:
[tex]$\left| \frac{z^2-1}{z^2}\right|
"lawrencetb":
-Determinare una espressione di f in termini di funzioni elementari ove possibile.
Qui brancolo nel buio..!
Se la serie converge, essa converge assolutamente, ergo la puoi spezzettare e sommarla come vuoi.
Ad esempio, visto che:
[tex]$\frac{a^n+1}{b^n}=\left( \frac{a}{b}\right)^n + \frac{1}{b^n}$[/tex],
si ha:
[tex]$g(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{a}{b}\ t\right)^n+\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{t}{b}\right)^n$[/tex]
e le serie a secondo membro sono geometriche, conseguentemente la loro somma (quando convergono) è nota; per ricavare l'espressione di [tex]$f(z)$[/tex] basterà ricordare che [tex]$f(z)=g(\tfrac{z^2-1}{z^2})$[/tex].
Innanzitutto grazie davvero per l'aiuto.
Non mi era venuto in mente di applicare il criterio del rapporto..
Però se $\|a|<=1$ e $\|b|>1$ allora $\lim(a^n+1)/b^n=0$ mentre se $\|b|<1$ allora $\lim(a^n+1)/b^n=infty$
Se invece $\|a|>1$
$\lim root(n)(|1/b^n||a^n+1|)=lim |a/b|root(n)(1+1/a^n)$ e il termine sotto radice va a 1, quindi perchè la serie converga il limite deve essere <1 e quindi $\|b|>|a|?
Non ero a conoscenza di questo risultato, così si che sono capace, grazie!
Non mi era venuto in mente di applicare il criterio del rapporto..
Però se $\|a|<=1$ e $\|b|>1$ allora $\lim(a^n+1)/b^n=0$ mentre se $\|b|<1$ allora $\lim(a^n+1)/b^n=infty$
Se invece $\|a|>1$
$\lim root(n)(|1/b^n||a^n+1|)=lim |a/b|root(n)(1+1/a^n)$ e il termine sotto radice va a 1, quindi perchè la serie converga il limite deve essere <1 e quindi $\|b|>|a|?
Se la serie converge, essa converge assolutamente, ergo la puoi spezzettare e sommarla come vuoi.
Non ero a conoscenza di questo risultato, così si che sono capace, grazie!
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