Serie di funzioni
Ciao.
Dovrei studiare la convergenza puntuale e totale della serie $ sum (1+sin (nx))/(1+(n^2*x^2-1)^2) $
Ho dei problemi per la convergenza totale.
Ho provato a fare la derivata per trovare il sup ma viene un'espressione troppo complessa da discutere. Quindi ho pensato di fare questo ragionamento:
$ 0 <= (1+sin (nx))/(1+(n^2*x^2-1)^2) <= 2/(1+(n^2*x^2-1)^2) $
Da cui: $ || (1+sin (nx))/(1+(n^2*x^2-1)^2) || <= || 2/(1+(n^2*x^2-1)^2)|| = 2 $ che non converge. Questo risultato però non mi permette di utilizzare il criterio del confronto per concludere che la mia serie non converge, giusto?
Quindi come potrei andare avanti?
Dovrei studiare la convergenza puntuale e totale della serie $ sum (1+sin (nx))/(1+(n^2*x^2-1)^2) $
Ho dei problemi per la convergenza totale.
Ho provato a fare la derivata per trovare il sup ma viene un'espressione troppo complessa da discutere. Quindi ho pensato di fare questo ragionamento:
$ 0 <= (1+sin (nx))/(1+(n^2*x^2-1)^2) <= 2/(1+(n^2*x^2-1)^2) $
Da cui: $ || (1+sin (nx))/(1+(n^2*x^2-1)^2) || <= || 2/(1+(n^2*x^2-1)^2)|| = 2 $ che non converge. Questo risultato però non mi permette di utilizzare il criterio del confronto per concludere che la mia serie non converge, giusto?
Quindi come potrei andare avanti?
Risposte
Mi accorgo solo adesso che hai seguito le indicazioni di Relegal e aperto un nuovo topic in cui esponi delle tue idee riguardo la risoluzione di questo esercizio. Ti ringrazio per questo. Adesso chiudo l'altro topic così da non disperdere le risposte, e intanto elimino io il TUTTO MAIUSCOLO dal titolo.
Risolte le questioni di carattere formale, passiamo alla matematica. La tua idea di studiare, in luogo del termine generale di questa serie, la successione
[tex]\displaystyle \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2}[/tex]
(che lo sovrasta) va bene - solo non capisco perché usi la doppia barretta verticale [tex]\lVert \cdot \rVert[/tex] per il valore assoluto. Prima di studiare la convergenza totale, però, meglio riflettere su quella puntuale. Io direi che la serie
[tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2}[/tex]
converge per ogni [tex]x\ne 0[/tex] per confronto con la serie numerica [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2x^2}[/tex] che è convergente. Infatti, fissiamo [tex]x \ne 0[/tex]. Dalla osservazione facile
[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2x^2-1)^2}{n^2x^2} = +\infty[/tex]
segue che, per ogni [tex]n[/tex] sufficientemente grande,
[tex]\displaystyle (n^2x^2-1)^2 \ge n^2x^2[/tex]
e perciò
[tex]\displaystyle \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2} \le \frac{2}{1+n^2x^2}[/tex];
chiaramente la successione numerica [size=75]([tex]x[/tex] è fissato)[/size] a destra in questa disuguaglianza è un infinitesimo del secondo ordine e quindi termine generale di una serie convergente. Concludiamo che anche la serie data converge assolutamente per ogni [tex]x \ne 0[/tex].
Per [tex]x=0[/tex] le cose vanno diversamente. Il termine generale della serie data diventa infatti [tex]\frac{1}{2}[/tex] per ogni [tex]n[/tex], dunque la serie diverge. Possiamo concludere che la serie converge puntualmente esclusivamente in [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex].
Ora c'è da studiare la convergenza totale. Credo (ma non ho verificato) che ci possa essere convergenza totale sui sottointervalli [tex](-\infty, a] \cup [b, \infty)[/tex] per ogni [tex]a <0
[editato - corretto un errore sul teorema di inversione dei limiti].
[tex]\displaystyle \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2}[/tex]
(che lo sovrasta) va bene - solo non capisco perché usi la doppia barretta verticale [tex]\lVert \cdot \rVert[/tex] per il valore assoluto. Prima di studiare la convergenza totale, però, meglio riflettere su quella puntuale. Io direi che la serie
[tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2}[/tex]
converge per ogni [tex]x\ne 0[/tex] per confronto con la serie numerica [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2x^2}[/tex] che è convergente. Infatti, fissiamo [tex]x \ne 0[/tex]. Dalla osservazione facile
[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2x^2-1)^2}{n^2x^2} = +\infty[/tex]
segue che, per ogni [tex]n[/tex] sufficientemente grande,
[tex]\displaystyle (n^2x^2-1)^2 \ge n^2x^2[/tex]
e perciò
[tex]\displaystyle \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2} \le \frac{2}{1+n^2x^2}[/tex];
chiaramente la successione numerica [size=75]([tex]x[/tex] è fissato)[/size] a destra in questa disuguaglianza è un infinitesimo del secondo ordine e quindi termine generale di una serie convergente. Concludiamo che anche la serie data converge assolutamente per ogni [tex]x \ne 0[/tex].
Per [tex]x=0[/tex] le cose vanno diversamente. Il termine generale della serie data diventa infatti [tex]\frac{1}{2}[/tex] per ogni [tex]n[/tex], dunque la serie diverge. Possiamo concludere che la serie converge puntualmente esclusivamente in [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex].
Ora c'è da studiare la convergenza totale. Credo (ma non ho verificato) che ci possa essere convergenza totale sui sottointervalli [tex](-\infty, a] \cup [b, \infty)[/tex] per ogni [tex]a <0
[editato - corretto un errore sul teorema di inversione dei limiti].
Sono d'accordo che la serie converge totalmente in $ ( -oo ,a] uu [ b,+oo ) $. Il mio problema è che non riesco a provare che la serie iniziale non converge in $ RR -{0} $ .
Ah, ok, io ho detto un po' tutto perché non avevo capito dove fosse il problema.
Proviamo a fare un discorso per assurdo? Supponiamo per assurdo che [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x)[/tex] converge totalmente in [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex], ovvero che esiste una successione numerica positiva [tex]M_n[/tex] tale che [tex]\lvert f_n(x) \rvert \le M_n[/tex] e [tex]\displaystyle \sum M_n < \infty[/tex].
Allora, detta [tex]\displaystyle f(x)=\sum f_n(x)[/tex], deve essere
[tex]\displaystyle \lvert f(x) \rvert \le \sum_{n=0}^\infty \lvert f_n(x) \rvert \le \sum M_n[/tex],
quindi in particolare [tex]f[/tex] deve essere limitata in [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex].
Inoltre la convergenza totale implica quella uniforme, quindi possiamo calcolare
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)[/tex]
come somma dei limiti dei singoli addendi:
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{x \to 0} \sum_{n=0}^\infty f_n(x)=\sum_{n=0}^\infty \lim_{x \to 0} f_n(x)=1/2+1/2+...=+\infty[/tex]
e questa è una contraddizione con il fatto che [tex]f[/tex] è limitata. Quindi la serie non può convergere totalmente in [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex].
Non sono sicuro al 100% perché ho scritto direttamente in TeX e statisticamente questa è la maniera migliore che ho di sbagliare!
Però ho fatto fare un grafico a Maple che sembra confermare il tutto:
(sono i grafici in un intorno di [tex]0[/tex] delle prime 15 somme parziali).
Proviamo a fare un discorso per assurdo? Supponiamo per assurdo che [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x)[/tex] converge totalmente in [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex], ovvero che esiste una successione numerica positiva [tex]M_n[/tex] tale che [tex]\lvert f_n(x) \rvert \le M_n[/tex] e [tex]\displaystyle \sum M_n < \infty[/tex].
Allora, detta [tex]\displaystyle f(x)=\sum f_n(x)[/tex], deve essere
[tex]\displaystyle \lvert f(x) \rvert \le \sum_{n=0}^\infty \lvert f_n(x) \rvert \le \sum M_n[/tex],
quindi in particolare [tex]f[/tex] deve essere limitata in [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex].
Inoltre la convergenza totale implica quella uniforme, quindi possiamo calcolare
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)[/tex]
come somma dei limiti dei singoli addendi:
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{x \to 0} \sum_{n=0}^\infty f_n(x)=\sum_{n=0}^\infty \lim_{x \to 0} f_n(x)=1/2+1/2+...=+\infty[/tex]
e questa è una contraddizione con il fatto che [tex]f[/tex] è limitata. Quindi la serie non può convergere totalmente in [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex].
Non sono sicuro al 100% perché ho scritto direttamente in TeX e statisticamente questa è la maniera migliore che ho di sbagliare!
Però ho fatto fare un grafico a Maple che sembra confermare il tutto:
(sono i grafici in un intorno di [tex]0[/tex] delle prime 15 somme parziali).
ok grazie mille. adesso mi è chiaro...
"dissonance":
Prima di studiare la convergenza totale, però, meglio riflettere su quella puntuale. Io direi che la serie
[tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2}[/tex]
converge per ogni [tex]x\ne 0[/tex] per confronto con la serie numerica [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2x^2}[/tex] che è convergente. Infatti, fissiamo [tex]x \ne 0[/tex]. Dalla osservazione facile
[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2x^2-1)^2}{n^2x^2} = +\infty[/tex]
scusate se mi intrometto ma l'argomento interessa anche a me dato è oggetto del mio prossimo esame. Scusami dissonance ma applicando il criterio del confronto asintotico alla serie [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2}[/tex] e la serie [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2x^2}[/tex] a me risulta:
$lim_(n to +infty) (2n^2x^2)/(1+(n^2x^2-1)^2)=0 $
@mazzy: Certo. Sono d'accordo con quel limite che dici. Purtroppo non capisco perché questo ti sembra una contraddizione con il mio post. Se me lo spieghi vedo di rimediare.
"dissonance":
@mazzy: Certo. Sono d'accordo con quel limite che dici. Purtroppo non capisco perché questo ti sembra una contraddizione con il mio post. Se me lo spieghi vedo di rimediare.
No dissonance ci mancherebbe. Scommetterei tutto l'oro del mondo che quello che hai scritto te è giusto. Però sarò io che tornato da 3 ore di Analisi 2 sono stanco perchè quello che hai scritto non lo capisco. potresti spiegarmelo il passaggio di confronto delle due serie?
Guarda, ho fatto molti passaggi ma il succo del discorso era procurarsi la disuguaglianza
[tex]\displaystyle \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2} \le \frac{2}{1+n^2x^2}[/tex]
e osservare che, siccome le successioni sono tutte e due positive e quella a destra è, per [tex]x \ne 0[/tex] termine generale di una serie convergente, pure la successione a sinistra lo è. Come giustamente noti tu si poteva fare in un colpo solo confrontando asintoticamente con
[tex](x \ne 0)\ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2x^2}[/tex]
che converge. Certo, va benissimo anche così.
[tex]\displaystyle \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2} \le \frac{2}{1+n^2x^2}[/tex]
e osservare che, siccome le successioni sono tutte e due positive e quella a destra è, per [tex]x \ne 0[/tex] termine generale di una serie convergente, pure la successione a sinistra lo è. Come giustamente noti tu si poteva fare in un colpo solo confrontando asintoticamente con
[tex](x \ne 0)\ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2x^2}[/tex]
che converge. Certo, va benissimo anche così.
"dissonance":
Guarda, ho fatto molti passaggi ma il succo del discorso era procurarsi la disuguaglianza
[tex]\displaystyle \frac{2}{1+(n^2x^2-1)^2} \le \frac{2}{1+n^2x^2}[/tex]
e osservare che, siccome le successioni sono tutte e due positive e quella a destra è, per [tex]x \ne 0[/tex] termine generale di una serie convergente, pure la successione a sinistra lo è. Come giustamente noti tu si poteva fare in un colpo solo confrontando asintoticamente con
[tex](x \ne 0)\ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2x^2}[/tex]
che converge. Certo, va benissimo anche così.
Chiarissimo. Non mi era molto chiaro a cosa eri arrivato. Adesso tutto chiaro. Ti ringrazio per il tuo tempo dedicatomi dissonance.
Ragazzi riguardando la serie mi è venuto un alro dubbio:
è convergente puntualmente in $ RR -{0} $ ?
E per $ x= \pm 1/n $ che succede? abbiamo sempre convergenza puntuale? Perchè scompare la dipendenza da $ n $.
è convergente puntualmente in $ RR -{0} $ ?
E per $ x= \pm 1/n $ che succede? abbiamo sempre convergenza puntuale? Perchè scompare la dipendenza da $ n $.
Ti confesso che la tua osservazione mi ha lasciato interdetto per un attimo, ma per fortuna alla fine ci sono arrivato.
Non ha senso dire: "fissato $x=1/n$", perché $n$ è destinata a variare ($n=1, 2, 3, 4, ...$) e non può essere fissata.
Non ha senso dire: "fissato $x=1/n$", perché $n$ è destinata a variare ($n=1, 2, 3, 4, ...$) e non può essere fissata.
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