Serie di funzioni
Salve, purtroppo il mio professore non ha affrontato un esercizio del genere e mi trovo di fronte ad un blocco perché non riesco a dire quale "barbatrucco" ci sia dietro a questa serie(suppongo sia anche semplice).
In pratica non riesco a dire (anche se ne ho il sospetto) se la serie è di potenze o no.
Le serie di potenze mi sono state definite come $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ e la serie dell'esercizio è questa:
$S(x)= \sum_{n=1}^\infty ((x-1)^(3n))/(n^2)$
Non riesco a capire come devo comportarmi con quell'esponente 3n e su come esplicitarlo (se così si fa) per calcolare poi la convergenza uniforme.
In seguito mi viene chiesto di dimostrare se esiste S'(0) e di determinarne il segno.
Se qualcuno potesse darmi delle indicazioni per risolvere questi quesiti...grazie mille!
In pratica non riesco a dire (anche se ne ho il sospetto) se la serie è di potenze o no.
Le serie di potenze mi sono state definite come $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ e la serie dell'esercizio è questa:
$S(x)= \sum_{n=1}^\infty ((x-1)^(3n))/(n^2)$
Non riesco a capire come devo comportarmi con quell'esponente 3n e su come esplicitarlo (se così si fa) per calcolare poi la convergenza uniforme.
In seguito mi viene chiesto di dimostrare se esiste S'(0) e di determinarne il segno.
Se qualcuno potesse darmi delle indicazioni per risolvere questi quesiti...grazie mille!
Risposte
"marcook":
Salve, purtroppo il mio professore non ha affrontato un esercizio del genere e mi trovo di fronte ad un blocco perché non riesco a dire quale "barbatrucco" ci sia dietro a questa serie(suppongo sia anche semplice).
In pratica non riesco a dire (anche se ne ho il sospetto) se la serie è di potenze o no.
Le serie di potenze mi sono state definite come $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ e la serie dell'esercizio è questa:
$S(x)= \sum_{n=1}^\infty ((x-1)^(3n))/(n^2)$
Non riesco a capire come devo comportarmi con quell'esponente 3n e su come esplicitarlo (se così si fa) per calcolare poi la convergenza uniforme.
In seguito mi viene chiesto di dimostrare se esiste S'(0) e di determinarne il segno.
Se qualcuno potesse darmi delle indicazioni per risolvere questi quesiti...grazie mille!
Mi sono accorto che per esplicitare questa serie trasformandola in serie di potenze è una cavolata....cioè:
$S(x)= \sum_{n=1}^\infty ((x-1)^(3n))/(n^2) = \sum_{n=1}^\infty ((x-1)^(2n))/(n^2)(x-1)^(n)$
Adesso c'è qualche anima buona che in generale sa dirmi come si dimostra se esiste S'(0) e come si determina il segno??
Grazie mille
Ma no, che hai fatto? Una serie di potenze la devi visualizzare come un polinomio con infiniti coefficienti. Ora ti è stata data la serie di funzioni
[tex]\displaymath S(x) = \sum _{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{3n}}{n^2}[/tex]; prova a scriverla in forma estesa:
[tex]\displaymath S(x) = (x-1)^3 + {1 \over 2} (x-1)^6 + {1 \over 9} (x-1)^9 + ... + {1 \over n^{2} } (x-1)^{3n} + ...[/tex].
Vedi? E' effettivamente una serie di potenze. Ti preoccupa che non ci siano termini di ogni grado? Ma allora, davanti a
[tex]\displaymath P(x)= 1+ x^3+x^6[/tex]
dovresti pensare che [tex]P[/tex] non è un polinomio, perché non ha i termini di grado 1, 2, 4 e 5!
Se proprio la cosa non ti fa dormire la notte, prova a scrivere
[tex]\displaymath S(x) = 0+ 0 (x-1)+ 0 (x-1)^2+ (x-1)^3 + 0(x-1)^4+ 0(x-1)^5+{1 \over 2}(x-1)^6+ ...[/tex];
ora ci sono i termini di tutti i gradi.
[tex]\displaymath S(x) = \sum _{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{3n}}{n^2}[/tex]; prova a scriverla in forma estesa:
[tex]\displaymath S(x) = (x-1)^3 + {1 \over 2} (x-1)^6 + {1 \over 9} (x-1)^9 + ... + {1 \over n^{2} } (x-1)^{3n} + ...[/tex].
Vedi? E' effettivamente una serie di potenze. Ti preoccupa che non ci siano termini di ogni grado? Ma allora, davanti a
[tex]\displaymath P(x)= 1+ x^3+x^6[/tex]
dovresti pensare che [tex]P[/tex] non è un polinomio, perché non ha i termini di grado 1, 2, 4 e 5!
Se proprio la cosa non ti fa dormire la notte, prova a scrivere
[tex]\displaymath S(x) = 0+ 0 (x-1)+ 0 (x-1)^2+ (x-1)^3 + 0(x-1)^4+ 0(x-1)^5+{1 \over 2}(x-1)^6+ ...[/tex];
ora ci sono i termini di tutti i gradi.
Io per risolvere l'esercizio proverei ad usare il teorema di Abel per le serie di potenze.
PS: un altro modo per rendere bellina la tua serie è porre [tex]t= (x-1)^3[/tex]. Ricordando che [tex](x-1)^{3n} = \left((x-1)^3\right)^n[/tex] la serie diventa... Tu
PS: un altro modo per rendere bellina la tua serie è porre [tex]t= (x-1)^3[/tex]. Ricordando che [tex](x-1)^{3n} = \left((x-1)^3\right)^n[/tex] la serie diventa... Tu
Cioè voi mi volete dire che devo applicare tutti i teoremi per le serie di potenze fregandomene di esplicitare quello che a me chiamano e studiarla come qualunque altra serie?
Dunque quando faccio gli esercizi devo solo distinguere se la serie è "normale" o di potenze, per sapere quali teoremi applicare giusto? E quindi quell'$f_n$ che compare nei miei teoremi si riferisce a tutto l'argomento della serie giusto?
Cioè nell'esercizio che ho postato, sarebbe $f_n= ((x-1)^(3n))/(n^2)$??
Dunque quando faccio gli esercizi devo solo distinguere se la serie è "normale" o di potenze, per sapere quali teoremi applicare giusto? E quindi quell'$f_n$ che compare nei miei teoremi si riferisce a tutto l'argomento della serie giusto?
Cioè nell'esercizio che ho postato, sarebbe $f_n= ((x-1)^(3n))/(n^2)$??
Il mio suggerimento consisteva in questo: Posto [tex]t= (x-1)^3[/tex], la nostra serie di partenze diventa:
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n^2}[/tex] (un serie di potenze bellina non trovi? ). Ora, prova a calcolarti il raggio di convergenza di [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n^2}[/tex]. Come ti esce?
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n^2}[/tex] (un serie di potenze bellina non trovi?
). Ora, prova a calcolarti il raggio di convergenza di [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n^2}[/tex]. Come ti esce?
"Mathematico":
Il mio suggerimento consisteva in questo: Posto [tex]t= (x-1)^3[/tex], la nostra serie di partenze diventa:
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n^2}[/tex] (un serie di potenze bellina non trovi?
Bellina davvero
Allora il raggio di convergenza di una serie di potenze è dato da: $R= 1/L$ con $L=lim_(n->infty)root(n)(|a_n|)$
Quindi: $L=lim_(n->infty)root(n)(|1/n^2|)=1$
Il raggio di convergenza è $R=1/1=1$ quindi la serie converge puntualmente ed uniformemente (essendo serie di potenze) in [-1,1] per il teorema di Abel
Giusto??
In verità convergerebbe, per essere serie di potenze, in [tex]$]-1,1[$[/tex]: infatti il teorema sul raggio di convergenza non ti assicura che la serie converga negli estremi dell'intervallo di convergenza.
In effetti è il Teorema di Abel, unito al fatto che hai controllato che la serie converge in [tex]$\pm 1$[/tex], che ti consente di dire che c'è convergenza totale nell'intervallo chiuso [tex]$[-1,1]$[/tex].
In effetti è il Teorema di Abel, unito al fatto che hai controllato che la serie converge in [tex]$\pm 1$[/tex], che ti consente di dire che c'è convergenza totale nell'intervallo chiuso [tex]$[-1,1]$[/tex].
"gugo82":
In verità convergerebbe, per essere serie di potenze, in [tex]$]-1,1[$[/tex]: infatti il teorema sul raggio di convergenza non ti assicura che la serie converga negli estremi dell'intervallo di convergenza.
In effetti è il Teorema di Abel, unito al fatto che hai controllato che la serie converge in [tex]$\pm 1$[/tex], che ti consente di dire che c'è convergenza totale nell'intervallo chiuso [tex]$[-1,1]$[/tex].
Quindi devo controllare la convergenza singolarmente in 1 e in -1 giusto?
E certo.
Per renderti conto del perchè ciò vada sempre fatto, guarda cosa succede alle serie [tex]$\sum x^n$[/tex], [tex]$\sum \frac{1}{n} x^n$[/tex] e [tex]$\sum \frac{1}{n^2} x^n$[/tex] negli estremi dell'intervallo di convergenza.
Per renderti conto del perchè ciò vada sempre fatto, guarda cosa succede alle serie [tex]$\sum x^n$[/tex], [tex]$\sum \frac{1}{n} x^n$[/tex] e [tex]$\sum \frac{1}{n^2} x^n$[/tex] negli estremi dell'intervallo di convergenza.
La tua serie $\sum_{n=1}^infty ((x-1)^(3n))/(n^2)$ coincide con la serie $\sum_{k=1}^infty a_k (x-1)^k$ dove la successione $a_k$ è definita da:
$a_k = 1/((k/3)^2) =9/(k^2)$ se $k$ è multiplo di $3$
$a_k = 0$ altrimenti.
A questo punto calcolare il raggio di convergenza è facile, perché si usa il teorema di Cauchy-Hadamard che dice che il raggio di convergenza è $R = 1/(\text{limsup}_{k -> oo} root(k)(|a_k|))$.
Ma si vede subito che $\text{limsup}_{k -> oo} root(k)(|a_k|) \ = \ \ lim_{k -> oo , k \text{ multiplo di } 3} \ root(k)(9/(k^2)) = lim_{n -> oo} root(3n)(9/((3n)^2)) = lim_{n -> oo} root(3n)(1/(n^2)) = 1$.
Quindi la tua serie di potenze ha raggio di convergenza $1/1 = 1$.
$a_k = 1/((k/3)^2) =9/(k^2)$ se $k$ è multiplo di $3$
$a_k = 0$ altrimenti.
A questo punto calcolare il raggio di convergenza è facile, perché si usa il teorema di Cauchy-Hadamard che dice che il raggio di convergenza è $R = 1/(\text{limsup}_{k -> oo} root(k)(|a_k|))$.
Ma si vede subito che $\text{limsup}_{k -> oo} root(k)(|a_k|) \ = \ \ lim_{k -> oo , k \text{ multiplo di } 3} \ root(k)(9/(k^2)) = lim_{n -> oo} root(3n)(9/((3n)^2)) = lim_{n -> oo} root(3n)(1/(n^2)) = 1$.
Quindi la tua serie di potenze ha raggio di convergenza $1/1 = 1$.
E capito tutto ciò (grazie a voi 
) come si dimostra che esiste S'(0) e dire che segno ha? qual'è l'idea da seguire?
Si utilizza percaso il teorema di derivabilità?
) come si dimostra che esiste S'(0) e dire che segno ha? qual'è l'idea da seguire?Si utilizza percaso il teorema di derivabilità?
"marcook":
E capito tutto ciò (grazie a voi
Si utilizza percaso il teorema di derivabilità?
Sì si utilizza il teorema di derivabilità:
[tex]\displaystyle D_x \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{3n}}{n^2}\right) = \sum_{n=1}^\infty D_x\left(\frac{(x-1)^{3n}}{n^2}\right)[/tex]
[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty D_x\left(\frac{(x-1)^{3n}}{n^2}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{3n (x-1)^{3n-1}}{n^2}=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac{3}{x-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{(x-1)^{3n}}{n}[/tex]. La serie di potenze ottenuta è quindi [tex]s'(x)[/tex] con [tex]x\in (0, 2)[/tex]. Dobbiamo verificare la continuità di [tex]s'(x)[/tex] per [tex]x=0[/tex]. Osserva innanzitutto che per [tex]x=0[/tex] la serie diventa:
[tex]\displaystyle-3\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{3n}}{n}=L\in\mathbb{R}[/tex] pertanto utilizzando nuovamente il teorema di Abel otteniamo che [tex]s'(x)[/tex] è continua in [tex]0[/tex] e inoltre [tex]\displaystyle s'(0) = -3 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{3n}}{n}>0[/tex]. Nota infatti che [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{3n}}{n} = -\log(2)[/tex] (questa è una serie notevole)
_______________
Mi auguro non ci siano problemi nella mia risoluzione
"Mathematico":
[quote="marcook"]E capito tutto ciò (grazie a voi
Si utilizza percaso il teorema di derivabilità?
Sì si utilizza il teorema di derivabilità:
[tex]\displaystyle D_x \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{3n}}{n^2}\right) = \sum_{n=1}^\infty D_x\left(\frac{(x-1)^{3n}}{n^2}\right)[/tex]
[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty D_x\left(\frac{(x-1)^{3n}}{n^2}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{3n (x-1)^{3n-1}}{n^2}=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac{3}{x-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{(x-1)^{3n}}{n}[/tex]. La serie di potenze ottenuta è quindi [tex]s'(x)[/tex] con [tex]x\in (0, 2)[/tex]. Dobbiamo verificare la continuità di [tex]s'(x)[/tex] per [tex]x=0[/tex]. Osserva innanzitutto che per [tex]x=0[/tex] la serie diventa:
[tex]\displaystyle-3\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{3n}}{n}=L\in\mathbb{R}[/tex] pertanto utilizzando nuovamente il teorema di Abel otteniamo che [tex]s'(x)[/tex] è continua in [tex]0[/tex] e inoltre [tex]\displaystyle s'(0) = -3 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{3n}}{n}>0[/tex]. Nota infatti che [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{3n}}{n} = -\log(2)[/tex] (questa è una serie notevole)
_______________
Mi auguro non ci siano problemi nella mia risoluzione
[/quote]E' tutto chiaro tranne una cosa: quando dici che utilizzando il teorema di abel su [tex]\displaystyle-3\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{3n}}{n}=L\in\mathbb{R}[/tex] otteniamo che $s'(x)$ è continua come fai a dirlo? Cioè $s'(0)$ non converge per Leibniz e ciò basta per dire che esiste s'(0)?
Sarebbe più giusto scrivere che:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+}s'(x) = -3 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{3n}}{n}[/tex].
La continuità segue proprio dal teorema di Abel, il quale ti assicura che, sotto le opportune ipotesi, s'(x) è continua non solo nell'intervallo di convergenza, ma anche nell'estremo (in questo caso 0) per il quale la serie [tex]\displaystyle\frac{3}{x-1}\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{3n}}{n}[/tex] converge. Aspettiamo conferme
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+}s'(x) = -3 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{3n}}{n}[/tex].
La continuità segue proprio dal teorema di Abel, il quale ti assicura che, sotto le opportune ipotesi, s'(x) è continua non solo nell'intervallo di convergenza, ma anche nell'estremo (in questo caso 0) per il quale la serie [tex]\displaystyle\frac{3}{x-1}\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{3n}}{n}[/tex] converge. Aspettiamo conferme
Ma non è più corretto dire che per il teorema di continuità la s'(x) è continua su 0?? Perché per come lo hanno dato a me, il teorema di abel non dice niente sulla continuità mi dice solo che: "Se una serie converge in un estremo, allora converge uniformemente sul raggio che unisce il punto 0 all'estremo".
"marcook":
Ma non è più corretto dire che per il teorema di continuità la s'(x) è continua su 0?? Perché per come lo hanno dato a me, il teorema di abel non dice niente sulla continuità mi dice solo che: "Se una serie converge in un estremo, allora converge uniformemente sul raggio che unisce il punto 0 all'estremo".
Sì se non ho frainteso il teorema che enunci dovrebbe essere la stessa cosa. Infatti hai assicurata la convergenza uniforme della serie ad [tex]s'(x)[/tex] con [tex]x\in [0, 1][/tex] dunque [tex]s'(x)[/tex] è continua in [tex][0, 1][/tex].
Ti torna?
si mi torna grazie mille!!
Quindi in generale: se trovo serie di potenze come questa che ho messo nell'esercizio con esponente 3n mi conviene porre $t^3$, mentre se ho serie del tipo [tex]\displaystyle \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n^2}\right)[/tex] (cioè con l'esponente n+1) qual'è il modo corretto di procedere?
Quindi in generale: se trovo serie di potenze come questa che ho messo nell'esercizio con esponente 3n mi conviene porre $t^3$, mentre se ho serie del tipo [tex]\displaystyle \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n^2}\right)[/tex] (cioè con l'esponente n+1) qual'è il modo corretto di procedere?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo