Serie di funzioni

[ciube1]

Salve. Non riesco a capire come risolvere questi due esercizi.

-studiare convergenza puntuale e verificare che converga totalmente in [0,+inf ] la serie :

$(nlog(1+x/n))/(x+n)^2$

-stabilire per quali x risulta convergente la serie fn(x) formata da:

1) $3^(x/n)-2^(1/n)$ se $x>=0$

2) $(n!)/(nx)^n$ se $x<0$

nel primo non riesco a capire come procedere penso debba usare la disuguaglianza $log(1+x)<=x$ per x>-1 ma non riesco ad arrivare a niente.
nel secondo non riesco a capire come trattare l'1.
Se qualcuno può aiutarmi gliene sarei grato.

[pat871]

Consigli:

Prima parte:
[tex]|f_n(x)| = \frac{|n \log{(1 + \frac{x}{n})}|}{(x+n)^2} \le \frac{|n\frac{x}{n}|}{(x+n)^2}[/tex] per [tex]x > -1[/tex].
Quindi verso che funzione converge puntualmente?
Convergenza uniforme:
cos'è [tex]sup_{x > 0} |f_n(x)|[/tex]?
Seconda parte:
1) [tex]3^{x/n} - 2^{1/n} = e^{ x/n \log{3}}(1 - e^{1/n \log{2} - x/n \log{3}})[/tex]
Convergenza puntuale:
Per [tex]x = 0[/tex]: semplice.
Per [tex]x >0[/tex]: utilizza che [tex]a^{1/n} \to 0[/tex] per [tex]a > 1[/tex]
Convergenza uniforme: il limite è una funzione continua?

[ciube1]

ok io avevo pensato:

$ (nlog(1+x/n))/(x+n)^2 <= (n(x/n))/(x+n)^2 = x/(x+n)^2 <= 1/n^2 $

quindi convergerebbe totalmente e quindi anche puntualmente per x>-1.

però non sono molto sicuro sia giusto.

altrimenti arrivo a

$ (nlog(1+x/n))/(x+n)^2 <= (n(x/n))/(x+n)^2 = x/(x+n)^2 = x/(x^2+n^2+2nx)<=x/(x^2+2nx)=1/(x+2n)<=1/x $

che però non mi dice niente.

sulla seconda parte mi torna strano $a^(1/n)->0$ non dovrebbe tendere ad 1 visto che l'esponente tende a zero ?

grazie dei consigli.

[pat871]

Sì giusto, hai ragione intendevo [tex]a^{1/n} \to 1[/tex] per [tex]a > 1[/tex], scusami.

Per il resto puoi certamente notare che

[tex]|f_n(x)| \le \frac{x}{x^2 + 2nx + n^2} = \frac{1}{x + 2n + n^2/x}[/tex]

La funzione [tex]x + 2n + n^2/x[/tex] raggiunge suo minimo per [tex]1- n^2/x^2 = 0[/tex], cioè per [tex]x=n > 0[/tex]. Quindi:

[tex]\frac{1}{x + 2n + n^2/x} \le \frac{1}{n + 2n + n} = \frac{1}{4n} \to 0[/tex]

Qundi [tex]\sup_{x>0} |f_n(x)| \le \frac{1}{4n} \to 0[/tex] e la successione di funzioni converge puntualmente ed uniformemente alla funzione nulla [tex]f= 0[/tex].

Ok?

[ciube1]

umm non capisco.

la serie per n che va da 1 ad inf di $1/(4n)$ non è divergente ? se facessi tipo $1/(x+2n+n^2/x)<=1/(n^2/x)=x/n^2<=1/n^2$ è lecito ? cosi otterrei una serie che converge.

riguardo alla seconda parte tornerebbe quindi che il limite per n->inf di 1) tenderebbe a zero e quindi la serie potrebbe convergere. solamente non so che criteri posso applicare per far vedere se converge veramente o no come ne applico uno mi blocco non arrivo a niente (intendo criterio della radice e l'altro quello limite n->inf di $(A(n+1))/(An)$).