Serie di funzioni
Devo studiare questa serie di funzioni:
$\sum_{n=1}^{+\infty} e^(nx)/(sqrt(n+5)+n)$
La prima cosa che mi viene da dire, è che quando $x>=1$, il termine generale che si ottiene non è infinitesimo, quindi la serie non può che divergere.
Studiandone il comportamento con il criterio della radice, ad $x$ fissata, ottengo:
$\lim_{n\to\infty}e^x/(sqrt(n(1+5/n))+n)^(1/n)$
$\lim_{n\to\infty}e^x/(n(1+sqrt(n(1+5/n))/n))^(1/n)=e^x$
Per il criterio della radice, so che se il valore del limite è $>1$ la serie diverge, se è $<1$ converge.
Ottengo una serie divergente per $e^x>1$, cioè $x>0$.
Ottengo una serie convergente per $x<0$.
Questi risultati concordano con l'osservazione che avevo fatto all'inizio.
Fin qui, non so se ho svolto l'esercizio correttamente, ma se così fosse avrei trovato un intervallo di convergenza puntuale che è $]-\infty,0[$.
Per $x=0$ posso studiare il comportamento della serie $\sum 1/(sqrt(n+5)+n)$, e non ci sono problemi. Ma per quanto riguarda la convergenza uniforme?
Sul libro ho trovato un teorema che mi dice quando la convergenza di una serie di funzioni è uniforme, e ha a che fare con gli estremi superiori, ma purtroppo non ho capito un granché. Applicato a questa serie, come posso fare quindi per capire dove la convergenza è uniforme?
Grazie.
$\sum_{n=1}^{+\infty} e^(nx)/(sqrt(n+5)+n)$
La prima cosa che mi viene da dire, è che quando $x>=1$, il termine generale che si ottiene non è infinitesimo, quindi la serie non può che divergere.
Studiandone il comportamento con il criterio della radice, ad $x$ fissata, ottengo:
$\lim_{n\to\infty}e^x/(sqrt(n(1+5/n))+n)^(1/n)$
$\lim_{n\to\infty}e^x/(n(1+sqrt(n(1+5/n))/n))^(1/n)=e^x$
Per il criterio della radice, so che se il valore del limite è $>1$ la serie diverge, se è $<1$ converge.
Ottengo una serie divergente per $e^x>1$, cioè $x>0$.
Ottengo una serie convergente per $x<0$.
Questi risultati concordano con l'osservazione che avevo fatto all'inizio.
Fin qui, non so se ho svolto l'esercizio correttamente, ma se così fosse avrei trovato un intervallo di convergenza puntuale che è $]-\infty,0[$.
Per $x=0$ posso studiare il comportamento della serie $\sum 1/(sqrt(n+5)+n)$, e non ci sono problemi. Ma per quanto riguarda la convergenza uniforme?
Sul libro ho trovato un teorema che mi dice quando la convergenza di una serie di funzioni è uniforme, e ha a che fare con gli estremi superiori, ma purtroppo non ho capito un granché. Applicato a questa serie, come posso fare quindi per capire dove la convergenza è uniforme?
Grazie.
Risposte
Nessuno? 
La convergenza puntuale c'è in $]-oo,0[$ come giustamente hai detto.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, stabilirla per le serie è davvero rognoso e perciò si ricorre alla cosiddetta convergenza totale.
Per dire che una serie è totalmente convergente in un insieme $X$ devi determinare o una serie numerica maggiorante che sia convergente (ossia una $\sum M_n$ tale che $M_n>=0$ e $AAx in X, |f_n(x)|<=M_n$) oppure devi trovare, $AA n in NN$, l'estremo superiore $"sup"_X |f_n|$ e devi mostrare che la serie $\sum "sup"_X |f_n|$ converge.
Nel tuo caso, se vuoi determinare i $"sup"$, basta tener presente la monotonia di $f_n(x)="e"^(nx)/(\sqrt(n+5)+n)$; ti accorgerai così che, per fissato $a<=0$, l'estremo superiore di $|f_n|$ in $]-oo,a[$ è $f_n(a)$, quindi la serie converge totalmente (e quindi uniformemente) in ogni $]-oo,a]$ a patto che $\sum f_n(a)$ converge.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, stabilirla per le serie è davvero rognoso e perciò si ricorre alla cosiddetta convergenza totale.
Per dire che una serie è totalmente convergente in un insieme $X$ devi determinare o una serie numerica maggiorante che sia convergente (ossia una $\sum M_n$ tale che $M_n>=0$ e $AAx in X, |f_n(x)|<=M_n$) oppure devi trovare, $AA n in NN$, l'estremo superiore $"sup"_X |f_n|$ e devi mostrare che la serie $\sum "sup"_X |f_n|$ converge.
Nel tuo caso, se vuoi determinare i $"sup"$, basta tener presente la monotonia di $f_n(x)="e"^(nx)/(\sqrt(n+5)+n)$; ti accorgerai così che, per fissato $a<=0$, l'estremo superiore di $|f_n|$ in $]-oo,a[$ è $f_n(a)$, quindi la serie converge totalmente (e quindi uniformemente) in ogni $]-oo,a]$ a patto che $\sum f_n(a)$ converge.
Ah ecco, allora ero sulla giusta strada!
Grazie mille
Grazie mille
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