Serie di funzioni
Salve a tutti!volevo chiedere una cosa...come si fa a calcolare una somma di una serie di funzioni?per esempio :
$\sum_{n=0}^\infty\(3x)^n/((n+1)!)$
io ho trovato il raggio di convergenza...come calcolo la somma?pensavo di derivare e/o integrare il termine generico e ricondurlo a sviluppi di taylor noti...ma ho avuto scarsi risultati
grazie per l'aiuto!ciao
$\sum_{n=0}^\infty\(3x)^n/((n+1)!)$
io ho trovato il raggio di convergenza...come calcolo la somma?pensavo di derivare e/o integrare il termine generico e ricondurlo a sviluppi di taylor noti...ma ho avuto scarsi risultati
grazie per l'aiuto!ciao
Risposte
Ricorda la serie esponenziale, nevvero?
Proviamo a ricondurci a quella, allora...
Sostituendo $y=3x$ la tua serie diventa $sum_(n=0)^(+oo)1/((n+1)!)y^n$; ora moltiplica per $y$ termine a termine e moltiplica per $1/y$ fuori dalla sommatoria; cambia l'indice ponendo $k=n+1$; nota che manca un solo termine per avere a disposizione la serie esponenziale; somma e sottrai quel termine... ed è fatta.
Proviamo a ricondurci a quella, allora...
Sostituendo $y=3x$ la tua serie diventa $sum_(n=0)^(+oo)1/((n+1)!)y^n$; ora moltiplica per $y$ termine a termine e moltiplica per $1/y$ fuori dalla sommatoria; cambia l'indice ponendo $k=n+1$; nota che manca un solo termine per avere a disposizione la serie esponenziale; somma e sottrai quel termine... ed è fatta.
Mi verrebbe da dire che la somma è:
Se $x=0\implies s=0$
Se $x\ne 0\implies s(x)=\frac{e^(3x)-1}{3x} $
Questo perchè:
$sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^(n+1)}{(n+1)!}= sum_{n=0}^{\infty} (3x)\frac{3x^(n)}{(n+1)!}=(3x) sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^(n)}{(n+1)!}= e^(3x)-1$
Da cui facilmente si ha che:
$sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^(n)}{(n+1)!}=\frac{ e^(3x)-1}{3x}$ questo vale per $x\ne 0$
Spero di non aver confuso le tue idee.
NB: per calcolare la somma ho utilizzato lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $e^x$ che risulta essere:
$T(e^x)=\sum_{n=0}^{infty} \frac{x^n}{n!}$
Lavorando un po' con gli indici si arriva alla soluzione
Se $x=0\implies s=0$
Se $x\ne 0\implies s(x)=\frac{e^(3x)-1}{3x} $
Questo perchè:
$sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^(n+1)}{(n+1)!}= sum_{n=0}^{\infty} (3x)\frac{3x^(n)}{(n+1)!}=(3x) sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^(n)}{(n+1)!}= e^(3x)-1$
Da cui facilmente si ha che:
$sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^(n)}{(n+1)!}=\frac{ e^(3x)-1}{3x}$ questo vale per $x\ne 0$
Spero di non aver confuso le tue idee.
NB: per calcolare la somma ho utilizzato lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $e^x$ che risulta essere:
$T(e^x)=\sum_{n=0}^{infty} \frac{x^n}{n!}$
Lavorando un po' con gli indici si arriva alla soluzione
sisi 
grazie..avevo già risolto nel frattempo però grazie perchè così sono sicuro di aver fatto bene 
grazie..avevo già risolto nel frattempo però grazie perchè così sono sicuro di aver fatto bene
"Mathematico":
Se $x=0\implies s=0$
Occhio che per $x=0$ rimane il termine d'indice $n=0$, che è uguale ad $1$; quindi $x=0 => s=1$...
Ops, mi scuso per l'errore 
. La prossima volta starò più attento. Grazie per avermelo fatto notare
. La prossima volta starò più attento. Grazie per avermelo fatto notare
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