Serie di funzioni

[Sk_Anonymous]

Determinare l'insieme di convergenza e la somma della serie:

$sum_(k=0)^infty[k^2xe^(-k^2x^2)-(k+1)^2xe^(-(k+1)^2x^2)]$

[jack110]

io ho pensato a questo... chiami $k^2*x*e^(-k^2x^2)=F(k)$, da cui la somma diventa

$sum_(k=0)^infty[F(k)-F(k+1)]$ che di fatto vuol dire

$F(0)-F(1)+F(1)-F(2)+F(2)-F(3)....-F(k+1)$ per $k+1->infty$

ovviamente tutti i valori $F(n)$ della somma si annullano, tranne $F(0)$ e $F(k+1)$ per $k+1->infty$, cioè

$sum_(k=0)^infty[k^2xe^(-k^2x^2)-(k+1)^2xe^(-(k+1)^2x^2)]= F(0)-F(k+1)$

adesso, $F(0)=0$ evvabbè mentre adesso basta calcolare il $lim_(t->infty)[-t^2x*e^(-t^2x^2)]$ ed è fatta....un attimo e viediamo se riesco a sbrogliarlo....


sperointanto sia potuta essere stata utile qualche cosa del ragionamento..

ciao

[jack110]

non vorrei aver fatto male i conti, ma trasformiamo

$lim_(t->infty)[-t^2x*e^(-t^2x^2)]$ in

$lim_(t->infty)[(-t^2x)/(e^(t^2x^2)]]$ a questo punto applichi de l'hopital (non lo faccio da un po', ma spero le premesse ci siano tutte per poterlo fare )

$lim_(t->infty)[-1/(2x*e^(t^2x^2)]]=0$

quindi in sostanza dovrebbe essere

$sum_(k=0)^infty[k^2xe^(-k^2x^2)-(k+1)^2xe^(-(k+1)^2x^2)]= 0$

per il raggio di convergenza...beh, quello devo ancora imparare cos'è, lascio la parola agli altri

ciao

[Sk_Anonymous]

Ok.


Comunque bastava costruire la successione delle somme parziali,trovavi:

$S_n(x)=-n^2xe^(-(n^2x^2))$ che sper $n->+infty$ tende a zero

[jack110]

doh!!:-D:-D:-D:-D