Serie di funzioni

[Boppy]

Come posso risolvere questo?
Trovare l'insieme di convergenza assoluta e semplice della serie:


sommatoria che va da 1 a inf di:
((((2n+1)^2) * n!)/(3n+1)!)*x^n

spero sia chiaro il testo... Grazie.

[Piera4]

prova con il criterio del rapporto..

[Woody1]

Usando la formula di Stirling si ottiene che:

((2n+1)^2)*n!/(3n+1)! = O((exp(2n)*n)/(n^(2n)))

dunque la serie converge per ogni x reale.
PS: O significa "O grande".
Woody.

[Boppy]

Non conosco questa formula, non e' nel mio programma di calcolo integrale, non c' e' un modo + semplice?

[Piera4]

Utilizzando il criterio del rapporto (ho preso i termini in valore assoluto per avere la serie a termini positivi)

|a(n+1)| = [2(n+1)+1]^2 * (n+1)! * |x|^(n+1) / [3(n+1)+1]!

|a(n)| =(2n+1)^2 * n! * |x|^n / (3n+1)!

|a(n+1)|/ |a(n)| =

(2n+3)^2 /(2n+1)^2 * (n+1)*n! / n! * |x|^n |x| / |x|^n * *(3n+1)! /(3n +4)(3n+3)(3n+2)(3n+1)!

semplificando viene
(2n+3)^2 /(2n+1)^2 * (n+1)* |x| /(3n +4)(3n+3)(3n+2)

(2n+3)^2 /(2n+1)^2 -- > 1

(n+1)* |x| /(3n +4)(3n+3)(3n+2) -- > 0

quindi |a(n+1)|/ |a(n)| -- > 0 per ogni x reale
la serie è assolutamente conv. per ogni x da cui segue la conv. semplice per ogni x
(la conv. assoluta implica quella semplice)

[Boppy]

Grazie mille!