Serie di funzioni
ciao a tutti!
ho questa serie di funzioni:
serie di:
numeratore: e^(-nx)
denominatore: n! - n
mi chiedono se converge uniformemente in [-1,1]
una delle cose che mi erano venute in mente di fare era quella di maggiorarla per dimostrare che converge totalmente e quindi uniformemente.. ma non ero capace e ho lasciato stare (...)
ho provato ad applicare il criterio del rapporto e il risultato è che il limite di |a n+1 / a n | = 0 per ogni xeR
da questo risultato posso concludere che la serie converge giusto? perchè 0 è minore di 1 no? ma che tipo di convergenza è? è uniforme? non riesco a capire questa cosa.... qualcuno mi spiega?
grazie mille
matteo
Bags
Off Road Band Guitarist
http://www.offroadband.com
ho questa serie di funzioni:
serie di:
numeratore: e^(-nx)
denominatore: n! - n
mi chiedono se converge uniformemente in [-1,1]
una delle cose che mi erano venute in mente di fare era quella di maggiorarla per dimostrare che converge totalmente e quindi uniformemente.. ma non ero capace e ho lasciato stare (...)
ho provato ad applicare il criterio del rapporto e il risultato è che il limite di |a n+1 / a n | = 0 per ogni xeR
da questo risultato posso concludere che la serie converge giusto? perchè 0 è minore di 1 no? ma che tipo di convergenza è? è uniforme? non riesco a capire questa cosa.... qualcuno mi spiega?
grazie mille
matteo
Bags
Off Road Band Guitarist
http://www.offroadband.com
Risposte
Non ti conviene maggiorarla con la serie:
somme e^(n)/(n!-n)
?
somme e^(n)/(n!-n)
?
scusa ma non riesco a capire il senso della tua risposta... e^(n)/(n!-n) non diverge? se la maggioro con una serie che diverge cosa me ne faccio?
non capisco.. divege vero? derive mi dice che è indeterminata...
Matteo
non capisco.. divege vero? derive mi dice che è indeterminata...
Matteo
Significa che la tua serie di funzioni diverge. Infatti e^(n)/(n!-n) rappresenta la convergenza puntuale nel punto -1.....
Piu' che una maggiorazione in effetti si tratta della serie di funzioni ristretta ad un punto....
Piu' che una maggiorazione in effetti si tratta della serie di funzioni ristretta ad un punto....
ok perfetto, ma partendo dal presupposto che questo non mi era venuto in mente, quello che ho fatto è giusto??
Matteo
Matteo
Tanto per cominciare scusami se nel primo post sono stato fuorviante con la parola "maggiorazione" che era sicuramente fuori luogo.
Poi nel secondo ho detto che la serie divergeva, che non era vero.
Infine ho controllato ed effettivamente risulta che il limite sia zero anche per x=-1 per cui la serie:
e^n/(n!-n)
Converge. (e' asintotica a exp[ n ( 2 - log n ) ] )
Quindi la serie converge uniformemente in [-1 1].
Venendo al criterio del rapporto io penso che sia giusto il modo in cui tu lo hai applicato, ma devo ammettere di non averlo mai visto usare per le serie di funzioni visto che spesso e' molto piu' semplice usare Weirnestrass e ridurre il tutto a una serie normale.
Un'ultima cosa sul criterio del rapporto: per serie di funzioni su tutto R credo che col criterio del rapporto si dimostri solo la convergenza puntuale. Per arrivare a quella uniforme bisogna trovare il sup e vedere se anche lui converge. (se il sup e' al finito e' ovviamente tutto ok.)
Poi nel secondo ho detto che la serie divergeva, che non era vero.
Infine ho controllato ed effettivamente risulta che il limite sia zero anche per x=-1 per cui la serie:
e^n/(n!-n)
Converge. (e' asintotica a exp[ n ( 2 - log n ) ] )
Quindi la serie converge uniformemente in [-1 1].
Venendo al criterio del rapporto io penso che sia giusto il modo in cui tu lo hai applicato, ma devo ammettere di non averlo mai visto usare per le serie di funzioni visto che spesso e' molto piu' semplice usare Weirnestrass e ridurre il tutto a una serie normale.
Un'ultima cosa sul criterio del rapporto: per serie di funzioni su tutto R credo che col criterio del rapporto si dimostri solo la convergenza puntuale. Per arrivare a quella uniforme bisogna trovare il sup e vedere se anche lui converge. (se il sup e' al finito e' ovviamente tutto ok.)
perfetto... ho capito tutto ti ringrazio moltissimo per l'aiuto...
non so perchè mi era saltato in mente che n! fosse più debole di e^n... mi ero solo confuso
grazie ancora!
Matteo
non so perchè mi era saltato in mente che n! fosse più debole di e^n... mi ero solo confuso
grazie ancora!
Matteo
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