Serie di funzioni
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio
La convergenza puntuale la ho dimostrata mediante il criterio del confronto con $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$. Come dimostro che non converge uniformemente? Il professore ci ha dato solo due "attrezzi", come li chiama lui, per dimostrare che una serie non converge uniformemente: il teorema della continuità e il criterio di Cauchy (da usare per assurdo). Ma la funzione somma non posso conoscerla e l'altro metodo non sembra funzionare in questo caso... Suggerimenti?
Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio
Provare che la serie
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}$$
è convergente in $]-\infty ,+\infty[$, ma non è ivi uniformemente convergente.
La convergenza puntuale la ho dimostrata mediante il criterio del confronto con $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$. Come dimostro che non converge uniformemente? Il professore ci ha dato solo due "attrezzi", come li chiama lui, per dimostrare che una serie non converge uniformemente: il teorema della continuità e il criterio di Cauchy (da usare per assurdo). Ma la funzione somma non posso conoscerla e l'altro metodo non sembra funzionare in questo caso... Suggerimenti?
Risposte
Ciao 
Grazie alla puntuale convergenza puoi definire $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}$
Poniamo $S_N(x)=\sum_{n=1}^\N \frac{e^x}{n(n+e^x)}$.
Dire che la serie converge uniformemente è come dire che
$AA \epsilon>0 \ \ EE M in NN \ \ text{tale che} \ \ AA N>=M \ \ text{sup}{|S_N(x)-f(x)| \ \ : \ \ x \in RR}<=\epsilon$
Ma vediamo che
$S_N(x)-f(x)=\sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}$
E si può osservare in vari modi che il sup di tale differenza esplode, per cui non può valere la convergenza uniforme.
Grazie alla puntuale convergenza puoi definire $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}$
Poniamo $S_N(x)=\sum_{n=1}^\N \frac{e^x}{n(n+e^x)}$.
Dire che la serie converge uniformemente è come dire che
$AA \epsilon>0 \ \ EE M in NN \ \ text{tale che} \ \ AA N>=M \ \ text{sup}{|S_N(x)-f(x)| \ \ : \ \ x \in RR}<=\epsilon$
Ma vediamo che
$S_N(x)-f(x)=\sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}$
E si può osservare in vari modi che il sup di tale differenza esplode, per cui non può valere la convergenza uniforme.
Ciao jinsang, grazie per la risposta.
Quindi si può usare anche la definizione di convergenza uniforme. La conclusione sarebbe che per $x->+\infty$ si avrebbe $\ \ text{sup}|\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}| = +\infty$ che porta ad una contraddizione con quanto hai scritto prima. Oppure quello che ho scritto prima è una fesseria?
Quindi si può usare anche la definizione di convergenza uniforme. La conclusione sarebbe che per $x->+\infty$ si avrebbe $\ \ text{sup}|\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}| = +\infty$ che porta ad una contraddizione con quanto hai scritto prima. Oppure quello che ho scritto prima è una fesseria?
"ValeForce":
Quindi si può usare anche la definizione di convergenza uniforme. La conclusione sarebbe che per $x->+\infty$ si avrebbe $\ \ text{sup}|\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}| = +\infty$ che porta ad una contraddizione con quanto hai scritto prima. Oppure quello che ho scritto prima è una fesseria?
Non ho capito da dove arriva $\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}$
Arriva da
$lim_{x->+\infty}\ \ text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|= \ \ text{sup}|\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}| = +\infty$
è il procedimento simile a quello che del criterio di Cauchy per dimostrare che una serie non converge uniformemente in un intervallo... faccio tendere la $x$ al punto dell'intervallo in cui ho "problemi" per arrivare all'assurdo, in questo caso a $+\infty$. È errato?
Tra l'altro per $x->-\infty$ non ho "problemi" quindi immagino si possa dimostrare la convergenza uniforme in intervalli del tipo $]-\infty,a]$ con $a in RR$.
$lim_{x->+\infty}\ \ text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|= \ \ text{sup}|\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}| = +\infty$
è il procedimento simile a quello che del criterio di Cauchy per dimostrare che una serie non converge uniformemente in un intervallo... faccio tendere la $x$ al punto dell'intervallo in cui ho "problemi" per arrivare all'assurdo, in questo caso a $+\infty$. È errato?
Tra l'altro per $x->-\infty$ non ho "problemi" quindi immagino si possa dimostrare la convergenza uniforme in intervalli del tipo $]-\infty,a]$ con $a in RR$.
L'idea è corretta ma non mi sembra scritta in modo molto pulito 
Cioè il punto è che qui:
facciamo il sup al variare di x tra i reali.
Non ha molto senso fare questa operazione:
Perché quando scrivi $text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|$ credo tu intenda implicitamente che stai facendo il sup al variare di x in R.
Ma allora $text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|$ è una quantità che non dipende da x (è un numero, possibilmente infinito).
E in effetti si vede che $text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo$ (perché? (probabilmente lo hai già capito))
Cioè il punto è che qui:
"jinsang":
$ AA \epsilon>0 \ \ EE M in NN \ \ text{tale che} \ \ AA N>=M \ \ text{sup}{|S_N(x)-f(x)| \ \ : \ \ x \in RR}<=\epsilon $
facciamo il sup al variare di x tra i reali.
Non ha molto senso fare questa operazione:
"ValeForce":
$ lim_{x->+\infty}\ \ text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|= \ \ text{sup}|\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}| = +\infty $
Perché quando scrivi $text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|$ credo tu intenda implicitamente che stai facendo il sup al variare di x in R.
Ma allora $text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|$ è una quantità che non dipende da x (è un numero, possibilmente infinito).
E in effetti si vede che $text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo$ (perché? (probabilmente lo hai già capito))
Hai ragione e mi scuso per non aver usato la notazione giusta.
In verità non saprei spiegare in modo più corretto perché quel sup è $+\infty$. Ho solo intuitivamente capito che per x reali grandi (cioè facendo tendere $x$ a $+\infty$) stiamo calcolando il sup di una serie numerica divergente.
Ci ho pensato molto ma niente... forse dovrei dimostrare la monotonia di qualcosa?
In verità non saprei spiegare in modo più corretto perché quel sup è $+\infty$. Ho solo intuitivamente capito che per x reali grandi (cioè facendo tendere $x$ a $+\infty$) stiamo calcolando il sup di una serie numerica divergente.
Ci ho pensato molto ma niente... forse dovrei dimostrare la monotonia di qualcosa?
Quello che dici qui:
è corretto se messo in questa forma:
Più concisamente:
Possiamo affermare che $ text{sup} \ \ |\sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo $
perché$ lim_{x->+\infty}\ \| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo $.
"ValeForce":
Ho solo intuitivamente capito che per x reali grandi (cioè facendo tendere $x$ a $+\infty$) stiamo calcolando il sup di una serie numerica divergente.
è corretto se messo in questa forma:
Ho solo intuitivamente capito che per x reali grandi (cioè facendo tendere $x$ a $+\infty$) la funzione $ S_N(x)-f(x)=\sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)} $ scoppia quindi stiamo calcolando il sup di [strike]una serie numerica divergente[/strike] una funzione non limitata, che quindi è $+oo$.
Più concisamente:
Possiamo affermare che $ text{sup} \ \ |\sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo $
perché$ lim_{x->+\infty}\ \| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo $.
Grazie mille sei stato chiarissimo.
A questo punto (se la tua pazienza non è finita
) mi sorge una piccola domanda
$ lim_{x->+\infty}\ \ | \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=|\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}|$
Scrivere questa cosa non è abuso di notazione o in generale una imprecisione vero? Tu hai scritto direttamente $+\infty$, solo per questo chiedo. Qualche messaggio prima ho scritto lo stesso ma con "sup" ed ho capito che è errato.
A questo punto (se la tua pazienza non è finita
) mi sorge una piccola domanda $ lim_{x->+\infty}\ \ | \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=|\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}|$
Scrivere questa cosa non è abuso di notazione o in generale una imprecisione vero? Tu hai scritto direttamente $+\infty$, solo per questo chiedo. Qualche messaggio prima ho scritto lo stesso ma con "sup" ed ho capito che è errato.
Beh no quel passaggio non lo puoi fare perché stai scambiando limite e serie, che è uno dei teoremi di scambio che richiedono la convergenza uniforme, ma tu ora stai cercando di dimostrare proprio che non hai la convergenza uniforme .
Però, ad essere sincero, mi hai fatto rendere conto che mostrare "per bene" questa cosa qui: $ text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo $ oppure anche questa:$ lim_{x->+\infty}\ \| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo $ è più rognoso di quanto mi sembrasse inizialmente (ammetto che mi sono preso una cantonata
)
Ti invito a pensarci un po' da solo prima di aprire lo spoiler.
.Però, ad essere sincero, mi hai fatto rendere conto che mostrare "per bene" questa cosa qui: $ text{sup}| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo $ oppure anche questa:$ lim_{x->+\infty}\ \| \sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^x}{n(n+e^x)}|=+oo $ è più rognoso di quanto mi sembrasse inizialmente (ammetto che mi sono preso una cantonata
)Ti invito a pensarci un po' da solo prima di aprire lo spoiler.
Grazie per l'aiuto e la pazienza che hai avuto.
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